Enunciado

Uma nave espacial de 100   k g está em uma órbita circular em torno da Terra a uma altura h = 2 R T . (a) Qual é o período orbital da nave? (b) Qual é a emergia cinética da nave? (c) Expresse a quantidade de movimento angular L da nave, em relação ao centro da Terra, em termos de enérgica cinética K e determine o valor numérico de L .

Passo 1

a) Olá! Então, ele quer o período T orbital da trajetória da nave que está. Aí pensa comigo: a trajetória é circular, certo? Então o comprimento dela é dado pelo comprimento de uma circunferência:

C = 2 π r

Temos que R T é o raio da Terra. Como a trajetória da nave está distante da Terra de h = 2 R T , o seu raio em relação ao centro da trajetória (que é o centro da Terra) vai ser 2 R T + R T = 3 R T . Substituindo:

C = 2 π 3 R T

O período T é o tempo que a nave leva para dar uma volta completa. Então, se a gente fosse calcular a velocidade média dessa nave, faríamos a seguinte conta:

v = C T

v = 2 π 3 R T T

Mas aqui a gente quer o período mesmo, né? Então vamos isolar ele

T = 2 π 3 R T v

Aí você vai falar: Cara, a gente fez tudo isso para nada, porque nem temos a velocidade da nave! Mas calma, a gente consegue encontrar ela usando as leis de Newton fofas.

Passo 2

Temos que a força agindo sobre a nave é a força gerada pela pelo campo gravitacional da Terra. A força gerada entre a nave de massa m e a Terra de massa M T tem essa expressão:

F = G M T m d 2

d é a distância entre o centro da Terra e a nave. Isso é exatamente o raio da trajetória da nave e vale d = 3 R T :

F = G M T m 3 R T 2

Aí lembra a nave está num movimento circular e que a gente pode dizer que a aceleração centrípeta da nave de massa m , raio de trajetória r e velocidade v é:

a c e n t r = v 2 r

Mas a gente sabe quanto vale r :

a c e n t r =   v 2 3 R T

Agora a partir da 2ª lei de Newton temos que

F c e n t r = m a r a d i a l

F c e n t r = m   v 2 3 R T

Temos que a nave sofre uma força centrípeta, certo? Mas a única força sobre a nave é a força gravitacional. Então temos que a força gravitacional aqui faz o papel de força centrípeta. Então podemos igualar suas expressões:

G M T m 3 R T 2 = m   v 2 3 R T

Isolando v :

v = g R T 3

Passo 3

Viu? Te disse que dava para achar v . Mas lembra que a gente queria o período. Vamos substituir essa expressão de v na nossa expressão para o período:

T = 2 π 3 R T v

T = 2 π 3 R T g R T 3

O valor do raio da Terra é tabelado e vale 6.37 ⋅ 10 6   m , já a gravidade vale g = 9,81 m / s 2 .

Substituindo os valores, temos o valor de T :

T = 2 π 3 6.37 ⋅ 10 6 9,81 6.37 ⋅ 10 6 3 = 26.31 ⋅ 10 3   s

Passando para horas:

T = 26.31 ⋅ 10 3   s ⋅ 1   h 3600   s = 7.31   h

Passo 4

b) Agora para a energia cinética da nave, vamos usar a definição:

K = 1 2 m v 2

Substituindo a expressão de v que já temos:

K = 1 2 m 1 3 g R T

Agora é só substituir os valores numéricos e temos a nossa energia cinética!

K = 1 6   100   9.81 × 6.37 × 10 6 = 1,04 × 10 9 J = 1.04   G J

Passo 5

c) Para fechar com chave de ouro e encontrar L vamos usar a fórmulinha da enérgica cinética que usa o momento angular:

K = L 2 2 I → L = 2 I K

Calculando o momento de inércia da nave num eixo através do centro da Terra, considerando que a nave é uma partícula

I = m r 2

I = m 3 R T 2 = 9 m R T 2

Daí é só substituir isso na expressão para L , dar uma simplificada e substituir os valores!

L = 2 9 m R T 2 K = 3 R T 2 m K

Substituindo os valores:

L = 3 ⋅ 6.37 ⋅ 10 6   2 100 1.04 10 9 = 8.72 ⋅ 10 12   J s

Resposta

  1. T = 7.31   h
  2. K = 1.04   G J
  3. L = 8.72 ⋅ 10 12   J s
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