Enunciado

O guepardo pode correr até a 113 km/h, o falcão pode voar até a 161 km/h e o marlim pode nadar até a 105 km/h. Os três participam, como uma equipe, de uma corrida de revezamento, cada um cobrindo uma distância L com sua rapidez máxima. Qual é a rapidez média deste time para todo o percurso? Compare esta média com a média aritmética dos três valores individuais de rapidez. Explique cuidadosamente por que a rapidez média do time não é igual à média aritmética dos três valores individuais de rapidez.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos diz que o time de revezamento é composto por cada um dos animais citados com suas respectivas rapidez máximas. Cada um percorre um caminho de comprimento L com sua rapidez máxima, então o nosso percurso total será 3 L , concorda?

Bom... A questão então nos pede a rapidez média do time durante o percurso total.

Nós podemos encontrar a rapidez média por:

v = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a T e m p o   t o t a l

Já vimos que a distância percorrida é 3 L , então

v m é d = 3 L T e m p o   t o t a l

Falta achar o tempo total. Ele vai ser a soma dos tempos que cada animalzinho levou para fazer seu percurso L .

Passo 2

Nós sabemos a rapidez de cada animal e a distância percorrida por eles. Então para achar o tempo de percurso, podemos usar a expressão da rapidez média novamente, mas para cada animal separadamente.

v = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a T e m p o

Queremos o tempo de percurso de cada animal , então vamos isola-lo

t e m p o = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a v

Aí para cada animal vamos ter

t g u e p a r d o = L v g u e p a r d o

t f a l c ã o = L v f a l c ã o

t m a r l i m = L v m a r l i m

Nosso tempo total ∆ t é dado pela soma de cada tempo:

∆ t = L 1 v g u e p a r d o + 1 v f a l c ã o + 1 v m a r l i m

Passo 3

Então a rapidez média de toda a corrida é dada por:

v m é d = 3 L T e m p o   t o t a l

v m é d = 3 L L 1 v g u e p a r d o + 1 v f a l c ã o + 1 v m a r l i m

v m é d = 3 1 v g u e p a r d o + 1 v f a l c ã o + 1 v m a r l i m

Substituindo os nossos dados

v m é d = 3 1 113   k m / h + 1 161   k m / h + 1 105   k m / h

v m é d = 122,03   k m / h

Passo 4

Agora vamos comparar a rapidez média do percurso com a média aritmética da rapidez máxima dos três animais:

v m é d i a ,   a n i m a i s = 113 + 161 + 105 3

v m é d i a ,   a n i m a i s = 126,33   k m / h

Para comparar uma com a outra, vamos dividir uma pela outra

v m é d i a ,   a n i m a i s v m é d = 126,33 122,03

v m é d i a ,   a n i m a i s = 1,04 v m é d

Como podemos notar, a média aritmética da rapidez dos animais, considerando a rapidez máxima dos animais, é 1,04 vezes maior que a rapidez média de toda a corrida.

Isso acontece porque quando fazemos a média aritmética da rapidez dos animais, consideramos que eles correm no mesmo intervalo de tempo para o percurso, e isso não ocorre. Lembra que o tempo de percurso para cada animalzinho foi

t g u e p a r d o = L v g u e p a r d o

t f a l c ã o = L v f a l c ã o

t m a r l i m = L v m a r l i m

Como a rapidez de cada um é diferentes, os tempos de percurso são diferentes. Assim cada um leva seu determinado tempo.

Resposta

v m é d = 122,03   k m / h

v m é d i a ,   a n i m a i s = 1,04 v m é d

A média aritmética da rapidez dos animais é diferente da calculada no percurso porque o cálculo a média artimética considera que eles fizeram seus percursos em intervalos de tempo iguais, o que não é verdadeiro.

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