Enunciado

Humberto e Roberto são dois músicos de jazz gêmeos, que se apresentam como uma dupla tocando trombone e saxofone. Aos vinte anos, no entanto, Roberto recebeu uma irresistível oferta para tocar uma estrela distante 15 anos-luz. Para comemorar sua boa sorte, ele comprou um novo veículo para a viagem – um cupê espacial de luxo que viaja a o , 99 c . Os gêmeos se comprometem a treinar com afinco, de modo a poderem recompor a dupla no futuro. Entretanto, a turnê de Roberto é tão bem-sucedida que ele leva exatos dez anos para voltar e reencontrar Humberto. Após o reencontro:

(a) Quanto anos terá Roberto treinado e

(b) Quanto anos terá Humberto treinado?

Passo 1

O relógio de Roberto, incluindo seu relógio biológico, estão sempre em relação a Roberto, então avançam com a mesma proporção que o tempo avança para Roberto. O mesmo é verdade para Humberto e seu relógio no seu referencial. Imgaine uma longa vara, em repouso em relação à Terra, com uma ponta na Terra e outra na estrela. O comprimento desta vara em repouso é de 15   c ∙ a ( c é a velocidade da luz e a são anos). O tempo que Roberto tem para treinar é o tempo da viagem em relação ao referencial de Roberto, e o tempo que Humerto tem para treinar é o tmepo da viagem de Roberto no referencial de Humberto.

Passo 2

(a) A figura abaixo esquematiza a situação no referencial do Roberto. A distância entre a Terra e a estrela é o comprimento L 0 da vara em repouso:

Passo 3

Para achar o tempo T 0 , no referencial de Roberto, da viagem até a estrela de distância L , aplicamos a fórmula:

L = v T 0

Contudo, devemos achar L , que é relacionado com L 0 pela fórmula de contração do espaço:

T 0 = L v = L 0 1 - v c 2 v

Passo 4

Substituindo por valores numéricos, a equação achada no Passo 3:

T 0 = ( 15   c ∙ a ) 1 - 0,99 2 0,99 c

T 0 = 2,137   a n o s

Passo 5

Enquanto Roberto estava na estrela, cada referencial estava em repouso em relação ao outro. Assim, devemos somar 10   a n o s ao tempo achado. Como houve uma viagem de ida e uma de volta, o tempo T 0 deve ser multiplicado por dois, pois a relatividade ocorreu durante a viagem de Roberto:

T = 10   a n o s + 2 ( 2,137   a n o s )

T = 14   a n o s

Passo 6

(b) A figura abaixo esquematiza a situação no referencial do Humberto. A distância entre a Terra e a estrela é o comprimento L da vara em movimento:

Passo 7

Para achar o tempo T 1 no referencial de Humberto para a viagem de Roberto até a estrela, devemos usar a fórmula:

L 0 = v T 1

Isolando   T 1 , obtemos:

T 1 =   L 0 v

Trocando as variáveis pelos valores correspondentes:

T 1 =   ( 15   c ∙ a ) ( 0,99 c )

T 1 = 15,152   a n o s

Passo 8

Enquanto Roberto estava na estrela, cada referencial estava em repouso em relação ao outro. Assim, devemos somar 10   a n o s ao tempo achado. Como houve uma viagem de ida e uma de volta, o tempo T 1 deve ser multiplicado por dois, pois a relatividade ocorreu durante a viagem de Roberto:

T = 10   a n o s + 2 15,152   a n o s

T = 40   a n o s

Resposta

a) 14 anos

b) 40 anos

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