Enunciado

Al e Bert são gêmeos. Al viaja a 0,600 c para Alpha Centauri (a 4,00 c⋅y da Terra, conforme medido no referencial da Terra) e retorna imediatamente. Cada gêmeo envia ao outro um sinal de luz a cada 0,0100 y, conforme medido em seu referencial. (a) A que taxa Bert recebe sinais enquanto Al se afasta dele? (b) Quantos sinais Bert recebe a essa taxa? (c) Quantos sinais totais são recebidos por Bert antes de Al retornar à Terra? (d) A que taxa Al recebe sinais quando Bert se afasta dele? (e) Quantos sinais Al recebe nesse ritmo? (f) Quantos sinais totais são recebidos por Al antes que Al retorne à Terra? (g) Qual gêmeo é mais jovem no final da viagem e por quantos anos?

Passo 1

(a)Bom, podemos escrever em termos do período T para cada sinal mais o período extra pelo fato de Al estar se afastando, ficamos com:

T s = T + T a f a s t a m e n t o

Esse período a mais para cada sinal pode ser escrito em termos do próprio período T e de um fator dado pela razão entre a velocidade da nave e a da luz:

T a f a s t a m e n t o = v T c = 0.600 c c T = 0.600 T

O período entre cada sinal então será:

T s = T + 0.600 T = 1.600 T

Pela equação que relaciona o período e a frequência, podemos escrever a frequência em que Bert recebe os sinais:

f B e r t = 1 1.600 T

Escrevendo T em termos do período próprio T 0 no referencial de Al:

T = T 0 1 - v 2 c 2

Substituindo na equação de frequência:

f B e r t = 1 - v 2 c 2 1.600 T 0

Substituindo valores numéricos para cada grandeza:

f B e r t = 1 - 4.00 c 2 c 2 1.600 ( 0.01 y ) = 50   y - 1

Passo 2

Na (b), vamos expressar o número de sinais N recebidos da seguinte maneira:

N = f 0 ∆ t A l

Onde f 0 são a frequência de sinais emitidos por Al, e ∆ t A l é o tempo no referencial de Al.

Como Al está se movimentando a altas velocidades, o tempo é dilatado em relação ao referencial de Bert, então:

∆ t A l = ∆ t B e r t 1 - v c 2

Calculando ∆ t B e r t pela equação de velocidade média:

∆ t B e r t = ∆ r v = 4.00 c y 0.600 c = 6.667 y

Substituindo ∆ t A l na equação de N:

N = f 0 ∆ t B e r t 1 - v c 2

E colocando os valores numéricos de cada grandeza:

N = 100 y - 1 6.667 y 1 - 0.600 c c 2 = 533

Passo 3

Na (c) basta calcularmos duas vezes o tempo de Al, um pela viagem de ida e outro pela volta:

2 ∆ t A l

E pela dilatação do tempo: 2 ∆ t A l = 2 ∆ t B e r t 1 - v c 2

E usando a mesma equação do Passo 2 para o número de sinais, mas dessa vez considerando que será o dobro do tempo:

N = f 0 2 ∆ t A l

Substituindo 2 ∆ t A l :

N = f 0 2 ∆ t B e r t 1 - v c 2

E os valores numéricos:

N = 2 100 y - 1 6.667 y 1 - 0.600 c c 2 = 1066

Passo 4

(d) No referencial de Al, podemos dizer que ele está parado e Bert que está se afastando dele com a mesma velocidade que Al se afasta de Bert, por isso, a frequência que Al recebe será a mesma que Bert recebe:

f A l = 50 y - 1

Passo 5

(e) O número de sinais N recebidos por Al será dado por:

N = f A l ∆ t A l

E como já temos a equação de ∆ t A l :

N = f A l ∆ t B e r t 1 - v c 2

Substituindo os valores:

N = 50 y - 1 6.667 y 1 - 0.600 c c 2 = 267

Passo 6

(f) Nesse caso, precisamos da quantidade de sinais da ida, que já temos do item (e) mais a quantidade de sinais da volta

N = 267 + N v o l t a

O numero de sinais da volta pode ser expressado como:

N v o l t a = f A l ,   v o l t a ∆ t A l

A questão é que a frequência da volta é diferente da ida, pois nesse caso o período será cada vez menor para cada sinal, já que a distância diminui entre os irmãos, o período então será dado pela diferença:

T s = T - 0.600 T = 0.400 T

E a frequência então será:

f A l ,   v o l t a = 1 0.4 00 T = 1 0.400 T 0 1 - v 2 c 2 = 1 - 0.600 c 2 c 2 0.400 T 0 = 200 y - 1

E então o número de sinais recebidos na volta será:

N v o l t a = f A l ,   v o l t a ∆ t A l = f A l ,   v o l t a ∆ t B e r t 1 - v c 2

N v o l t a = 200 y - 1 6.667 y 1 - 0.600 c c 2

E o total:

N = 267 + 200 y - 1 6.667 y 1 - 0.600 c c 2 = 1334

Passo 7

(g)E a diferença de idade entre os dois pode ser escrito pela diferença entre os tempos de cada irmão:

∆ t = ∆ t B e r t - ∆ t A l

Substituindo os valores:

∆ t = 1334 100 y - 1 - 1 067 100 y - 1 = 2.67 y

E Al será 2.67y mais novo que Bert.

Resposta

( a ) f B e r t = 50 y - 1

b N = 533

c f A l = 50 y - 1

d N = 267

e N = 1334

( f ) 2.67 y

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