Enunciado

No intervalo de tempo de 0,0   s até 10,0   s , a aceleração de uma partícula viajando em uma linha reta é dada por a x = ( 0,20   m / s 3 ) t . Considere que o sentido + x aponta para a direita. Inicialmente a partícula tem uma velocidade para a direita de 9,5   m / s e está localizada 5,0   m à esquerda da origem. (a) Determine a velocidade como uma função de tempo durante o intervalo. (b) Determine a posição como uma função do tempo durante o intervalo. (c) Determine a velocidade média entre t = 0,0   s e 10,0   s , e compare esse resultado à média das velocidades instantâneas nos tempos final e inicial. Essas duas médias são iguais? Explique.

Passo 1

(a) Vamos começar escrevendo algumas variáveis baseadas no sistema que o enunciado descreveu:

v 0 x = 9,5   m / s

x 0 = - 5,0   m

a x t = 0,20   t

Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:

v x t = ∫ 0 t a x t d t

v x t = ∫ 0 t 0,20   t   d t = 0,20 2 t 2 + v 0 x

E então:

v x t = 0,10 m s 2   t 2 + 9,5 m s

Passo 2

(b) E para encontrar a posição só precisamos integrar mais uma vez:

x t = ∫ 0 t v x t d t

x t = ∫ 0 t 0,10   t 2 + 9,5 d t

x t = 0,10 3 t 3 + 9,5   t + x 0

E então:

x t = 0,10 3 m s 3 t 3 + 9,5 m s   t - 5,0   m

Passo 3

(c) Agora vamos comparar a velocidade média ao longo do intervalo 0,0 ≤ t ≤ 10   s com a média das velocidades final e inicial desse intervalo.

A primeira média precisa ser calculada com uma integral:

v m é d = 1 Δ t   ∫ t i t f v x t d t

v m é d = 1 10 - 0,0   ∫ 0 10 0,10   t 2 + 9,5   d t

v m é d = 1 10   0,10 3 10 3 + 9,5 10

v m é d = 12,8   ≅ 13   m / s

E agora para calcular a média das velocidades final e inicial, é só fazer o seguinte:

v 0 = 0,10   0 2 + 9,5 = 9,5   m / s

v 10 = 0,10   10 2 + 9,5 = 19,5   m / s

v m é d ' = v 0 + v ( 10 ) 2 = 19,5 + 9,5 2 = 14,5   m / s

v m é d ' ≅ 15   m / s

Ou seja, os dois valores não são iguais. Isso aconteceu simplesmente porque a aceleração não é constante, e nesses casos esse segundo método não é garantido para calcular a velocidade média.

Resposta

(a) v x t = 0,10 m s 2   t 2 + 9,5 m s .

(b) x t = 0,10 3 m s 3 t 3 + 9,5 m s   t - 5,0   m .

(c) A velocidade média é v m é d = 13   m / s , e a média das velocidades é v m é d ' = 15   m / s . A diferença existe porque a aceleração não é constante.

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