Enunciado

Um jogador de beisebol bate uma bola de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 30,0   m / s , formando um ângulo de 36,9 ° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. (a) Ache os dois instantes para os quais a altura da bola está a 10,0   m acima do nível inicial. (b) Calcule os componentes vertical e horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item (a). (c) Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) os dois instantes para os quais a altura da bola está a 10,0   m acima do nível inicial, (b) os componentes vertical e horizontal da velocidade e (c) o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial.

Nós sabemos que o jogador bate a bola de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 30,0   m / s , formando um ângulo de 36,9 ° acima da horizontal. Então, vamos considerar que a bola de beisebol se move em movimento de projétil com os componentes da velocidade no ponto de lançamento para calcular sua velocidade resultante.

Sendo assim, usando as coordenadas onde a direção + y é para cima, a direção + x está para a direita e a origem está no ponto onde a bola de beisebol deixa o bastão, temos as componentes x e y da velocidade inicial:

v 0 x = v 0 c o s ⁡ α 0 = ( 30.0 m / s ) c o s ⁡ 36.9 ∘ = 24.0 m / s v 0 y = v 0 s i n ⁡ α 0 = ( 30.0 m / s ) s i n ⁡ 36.9 ∘ = 18.0 m / s

Além disso, vamos considerar que a aceleração horizontal é zero, a x = 0 , e que a aceleração na direção vertical é dada por e  a y = - g .

Vamos lá!

Passo 2

Letra a:

Inicialmente, nós sabemos que bola deve estar a 10,0   m acima do nível inicial ( y - y 0 = + 10.0 m ), que a velocidade inicial no eixo vertical é v 0 y = 18,0   m / s , que a aceleração nesse mesmo eixo é a aceleração da gravidade a y = 9,8   m / s 2 e queremos descobrir o tempo t .

Então, vamos usar a equação horária da posição no MRUV, dada por:

y - y 0 = v 0 y + 1 2 a y t 2

Assim, substituindo os dados, vamos ter:

10 , 0 m = 18 , 0 m s t - 4 , 90 m s 2 t 2

4 , 90 m s 2 t 2 - 18 , 0 m s t + 10 , 0 m = 0

Então, resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos em:

t = 1 9 , 80 18 , 0 ± ( - 18 , 0 ) 2 - 4 ( 490 ) ( 10 , 0 ) s

t = 1 , 837 ± 1 , 154 s

Assim, a bola está a uma altura de 10,0 m acima do ponto onde deixou o taco em t 1 = 0 , 683   s  e  t 2 = 2 , 99 s . No momento anterior a bola passa por uma altura de 10,0   m conforme seu caminho para cima e, posteriormente, ela passa 10,0   m em sua descida.

Passo 3

Letra b:

Agora vamos calcular os componentes vertical e horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item (a). Pra isso, vamos considerar a velocidade inicial na direção horizontal:

v x = v 0 x = + 24.0 m / s

E a aceleração na direção horizontal:

a x = 0

E usar a equação horária da velocidade na forma:

v y = v y + a y t

Assim, com os dados fornecidos, para t 1 = 0 , 683   s , temos:

v y = + 18 , 0 m s + - 9 , 80 m s 2 0 , 683 s

v y = + 11,3   m / s

v y é positivo, ou seja, a bola está viajando para cima.

Para t 2 = 2 , 99   s , vamos ter:

v y = + 18 , 0 m s + - 9 , 80 m s 2 2 , 99 s

v y = - 11,3   m / s

v y é negativo, ou seja, a bola está viajando para baixo.

Passo 4

Letra c:

Agora vamos determinar o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial. Pra isso, vamos considerar:

v x = v 0 x = 24 , 0   m s

y - y 0 = 0

Como, a y = - 9 , 80 m s 2 , v 0 y = + 18 , 0 m s , vamos ter:

v y 2 = v y 2 + 2 a y y - y 0

v y = - v 0 y = - 18.0 m s

Agora usando as componentes calculadas, vamos verificar a magnitude e a direção de v → :

Assim, vamos ter:

v = v x 2 + v y 2

v = ( 24 , 0 m / s ) 2 + ( - 18 , 0 m / s ) 2

v = 30,0   m / s

E a direção será dada por:

tan ⁡ α = v y v x

t a n ⁡ α = - 18 , 0 m s 24 , 0 m s

Logo,

α = - 36 , 9 ∘

abaixo da horizontal.

Isso significa que a velocidade da bola quando ela retorna ao nível em que deixou o taco tem magnitude de 30,0   m / s e é direcionada em um ângulo de 36,9 ∘   abaixo da horizontal.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. A bola está a uma altura de 10,0 acima do ponto onde deixou o taco em t 1 = 0.683 s  e  t 2 = 2.99 s
  2. + 11.3 m s   e   - 11.3 m s
  3. A velocidade da bola quando ela retorna ao nível em que deixou o taco tem magnitude de 30,0 m/s e é direcionado em um ângulo de 36,9º abaixo da horizontal.
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