Enunciado

Estando inicialmente agachado, um atleta dá um salto vertical para atingir a máxima altura possível. Os melhores atletas permanecem cerca de 1,0 s no ar (o “tempo de suspensão” no ar). Considere o atleta como uma partícula e denomine ymáx sua altura máxima acima do solo. Para explicar por que ele parece estar suspenso no ar, calcule a razão entre o tempo em que ele fica acima de ymáx/2 e o tempo que ele leva para subir do chão até essa altura. Você pode ignorar a resistência do ar

Passo 1

Primeiro, precisamos obter uma expressão para. Quando o atleta atinge a altura máxima, v = 0. Então,

v 2 = v 0 2 - 2 g y m a x 0 = v 0 2 - 2 g y m a x v 0 = 2 g y m a x

Tempo que o atleta passa acima de y m a x 2 :

Para este caso, estamos interessados ​​no movimento do y m a x / 2 para cima e de volta ao y m a x / 2 novamente então y = y 0 = y m a x / 2 .

y - y 0 = v 0 t a c i m a - 1 2 g t a c i m a 2 0 = v 0 t a c i m a - 1 2 g t a c i m a 2 v 0 = 1 2 g t a c i m a ∴ t a c i m a = 2 v 0 g

Passo 2

Substituindo por v 0 , obtemos:

t acima   = 2 2 g y m a x g

Tempo que o atleta leva para atingir y m a x / 2 pulando do chão:

y - y 0 = v 0 t a b a i x o - 1 2 g t a b a i x o 2 y m a x / 2 = v 0 t a b a i x o - 1 2 g t a b a i x o 2

Reorganizando a equação e multiplicando por 2 para colocar a equação na forma quadrática:

g t a b a i x o 2 - 2 v 0 t a b a i x o + y m a x = 0

Agora temos uma equação quadrática com a = g , b = - 2 v 0   e  c = y m a x . Substituindo na fórmula quadrática:

t a b a i x o = - b ± b 2 - 4 a c 2 a t a b a i x o = 2 v 0 ± 4 v 0 2 - 4 g y m a x 2 g t a b a i x o = v 0 ± v 0 2 - g y m a x g

Substituindo v 0 = 2 g y m a x , temos:

t a b a i x o = 2 g y m a x ± 2 g y m a x - g y m a x g t a b a i x o = 2 g y m a x ± g y m a x g

Passo 3

Pegamos o valor com o sinal de menos no meio do numerador. O atleta passa pelo ponto y m a x / 2 duas vezes, uma vez ao se levantar e novamente ao cair, o menos para o evento crescente e o mais para o evento de queda.

∴ t a b a i x o = 2 g y m a x - g y m a x g = g y m a x g 2 - 1

Então, a razão é:

t acima   t abaixo = 2 2 g y m a x g × g g y m a x ( 2 - 1 ) = 2 2 ( 2 - 1 ) = 6.83

O atleta passa mais tempo acima de y m a x / 2 a mais do que abaixo por um fator de 13,66, então eles parecem estar pairando no ar.

Resposta

t acima   t abaixo = 6.83

O atleta passa mais tempo acima de y m a x / 2 a mais do que abaixo por um fator de 13,66, então eles parecem estar pairando no ar.

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