Enunciado

Um jogador de futebol chuta uma bola de massa 0,45   k g que se encontra inicialmente em repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por 3,0 × 10 - 3   s e a força do chute é dada por F t = 6,0 × 10 6 t - 2,0 × 10 9 t 2   N para 0 ≤ t ≤ 3,0 × 10 - 3   s , onde t está em segundos. Determine o módulo (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da força média exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé do jogador.

Passo 1

Vamos iniciar supondo que a força aplicada atua no sentido positivo do nosso eixo x . Assim, podemos calcular o impulso através de:

J = ∫ 0 t F ( t ) d t

Então, substituindo os valores:

J = ∫ 0 3,0 × 10 - 3 6,0 × 10 6 t - 2,0 × 10 9 t 2 d t

Integrando:

J = 1 2 6 × 10 6 t 2 - 1 3 2 × 10 9 t 3 0 3,0 × 10 - 3

J = 9,0   N ∙ s

Passo 2

Lembrando que:

J = F m ∆ t

Então, podemos determinar a força média:

F m = J ∆ t

Substituindo os valores:

F m = 9 3 × 10 - 3 = 3,0 × 10 3   N

Passo 3

Para determinar o instante no qual a força é máxima, devemos lembrar do conceito da derivada, no qual, podemos achar o máximo e o mínimo de uma função derivando a fução e analisando os pontos críticos. Assim, derivando F em relação ao tempo e igualando o resultado a zero, temos:

d F d t = 6 × 10 6 - 4 × 10 9 t = 0

t = 6 × 10 6 4 × 10 9 = 1,5 × 10 - 3   s

Portanto, a força máxima ocorre no instante t = 1,5 × 10 - 3   s . Assim, substituindo na função da força, temos:

F m á x = 6 × 10 6 × 1,5 × 10 - 3 - 2 × 10 9 × 1,5 × 10 - 3 2

F m á x = 4,5 × 10 3   N

Passo 4

Pelo teorema impulso momento linear, temos:

∆ p = J

Lembrando que inicialmente a bola está parada, então nossa equação se resume a:

m v f = J

Assim, isolando v f e substituindo os valores, temos:

v f = 9 0,45 = 20   m / s

Resposta

  1. J = 9,0   N ∙ s ;
  2. F m = 3,0   k N ;
  3. F m á x = 4,5   k N ;
  4. v f = 20   m / s .
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