Enunciado

Um projétil de 12,0   k g é lançado a um ângulo de 55,0 ° acima do plano horizontal, com velocidade escalar inicial de 150   m / s . Ao atingir a altura máxima, ele explode em dois fragmentos, sendo um deles três vezes mais pesado que o outro. Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. Considere que a resistência do ar é desprezível. Se o fragmento mais pesado aterrissar no mesmo ponto de onde o projétil foi lançado, onde o fragmento mais leve cairá no solo e quanta energia foi liberada na explosão?

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar onde vai cair o fragmento mais leve e quanta energia foi liberada na explosão.

Nós sabemos que o projétil tem massa m = 12   k g e foi lançado de um ângulo θ = 55 ° com uma velocidade inicial v 0 = 150   m / s . Ele explode no ponto mais alto da trajetória, se dividindo em dois fragmentos e com um deles sendo 3 vezes mais pesado que o outro.

Dessa forma, vamos definir o lançamento do projétil para o lado positivo + x . O primeiro objetivo do problema é descrever o movimento balístico do projétil. Logo em seguida iremos analisar a conservação de movimento para a explosão. Por fim, analisando o local de queda em uma das massas, poderemos afirmar o local de queda para o segundo fragmento.

Vamos lá!

Passo 2

O projétil é lançado para cima com uma velocidade v y = v ⋅ sin ⁡ 55 ° = 122,87   m / s .

Para analisar o tempos que o projétil subiu a fim de determinar o quanto ele andou na horizontal, fazemos:

v f y = v o y - g t

E isolamos o tempo t na equação:

→ t = v o y g

Então, substituindo os valores, obtemos:

t =   12,54 s  

Passo 3

Ao explodir, o projétil se divide em dois fragmentos, um com massa igual a m / 4 e outro 3 m / 4 ,

Por conservação de momento temos que:

M v x = M v 1 + 3 M v 2 4

Se o fragmento mais pesado atinge o solo na mesma posição que o projéil partiu, isso indica que o fragmento voltou com a mesma velocidade, mas invertida, ou seja, v 2 = - v x .

Então temos que

v 1 = 7 v x = 7 ⋅ v x ⋅ cos ⁡ 55 °

v 1 =   602 m s

Passo 4

Sabendo o tempo de queda e a velocidade na direç��o x . Podemos determinar a posição onde o fragmento mais leve irá cair usando a função horária da posição:

S = S o + v o ⋅ t

Então, substituindo os valores, temos:

S = 0 + 602   m / s ⋅ 12,54 s

S = 7552,28   m

Entretanto devemos analisar o quanto inicialmente o projétil tinha andado. Seguindo o mesmo raciocínio, na direção horizontal, temos:

S = v o x ⋅ t

S = 150   m / s ⋅ cos ⁡ 55 ° ⋅ 12,54   s

S = 1078,98   m

Logo a posição que o fragmento mais leve caiu foi 1078,98   m + 7552,28   m = 8631,26   m .

Passo 5

Para calcular a energia liberada, vamos usar conservação de energia, onde

K i = K 1 + K 2 + Q

Calculando a energia cinética do projétil antes de explodir, temos:

K i = 12   k g ⋅ 150   m / s ⋅ cos ⁡ 55 ° 2 2

K i =   4,44 × 10 4 J

Agora calculando a energia cinética do primeiro fragmento:

K 1 = 3 4 12   k g ⋅ 150   m / s ⋅ cos ⁡ 55 ° 2 2

K 1 = 3,33 × 10 4 J

E para o segundo fragmento, temos:

K 2 = 12 k g 4 ⋅ 602   m / s 2 2

K 2 = 5,44 × 10 5 J  

Agora podemos dizer que a energia liberada Q será:

Q =   5,32 × 10 5 J

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

8631,26   m

5,32 × 10 5 J

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