Enunciado

Um projétil de 20,0   k g é disparado com velocidade de 80,0   m / s formando um ângulo de 60,0 ° acima da horizontal. No ponto mais elevado de sua trajetória o projétil explode se dividindo em dois fragmentos de mesma massa, um dos quais cai verticalmente com velocidade inicial igual a zero. Despreze a resistência do ar. a) Supondo um solo horizontal, qual é a distância entre o ponto inicial do disparo e o ponto onde o segundo fragmento atinge o solo? b) Qual é a quantidade de energia libertada na explosão?

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) a distância entre o ponto inicial do disparo e o ponto onde o segundo fragmento atinge o solo e (b) a quantidade de energia libertada na explosão.

Vamos desenhar o que tá acontecendo pra gente entender melhor:

No primeiro plano, temos o projétil de massa m = 20   k g e velocidade inicial v 0 = 80   m / s sendo disparado com um ângulo de 60,0 ° acima da horizontal. No segundo, temos o projétil sendo dividido em dois fragmentos, com o fragmento A caindo verticalmente com velocidade inicial v 0 A = 0 e o segundo fragmento B , seguindo uma trajetória com velocidade v 0 B .

Então, pra calcular a distância que o segundo fragmento alcança vamos usar a equação do movimento uniforme:

S = S o + v o ⋅ t

Onde S é a distância alcançada (posição final), S 0 é a posição inicial do fragmento, v 0 sua velocidade inicial e t é o tempo de queda. Só que pra determinar o tempo de queda e a nova velocidade do fragmento, vamos dividir o nosso movimento em duas partes e usar as equações de Torricelli e da conservação do momento linear do sistema.

Depois, vamos determinar a quantidade de energia liberada na explosão, considerando que ela é numericamente igual a variação de energia cinética do sistema ( Δ K = K f - K i ).

Vamos lá!

Passo 2

Quando o projétio é lançado a uma velocidade de 80   m / s com relação a horizontal, apenas nos interessa saber a que altura ele chegou, logo o distância na horizontal é desprezada inicialmente.

Desta forma temos que pela equação de Torritelli:

v 2 = v o 2 + 2 a h

Onde aqui a =   - g , que representa a aceleração da gravidade ( - 9,8   m / s 2 ), v é a velocidade final, que é zero, v 0 é a velocidade inicial de lançamento e h é a altura alcançada. Mas como o queremos a altura vertical, vamos considerar a componente vertical da velocidade inicial na direção x . Sabendo que ela foi lançada com um ângulo de 60 ° , temos:

v 0 y = 80 s en ⁡ ( 60 ° ) = 69,28   m / s

Assim, isolando h na equação, temos:

h = v o 2 2 g

h = 69,28   m / s 2 2 ∙ ( - 9,8   m / s 2 )

h = 244,90   m

Passo 3

Atingindo a altura máxima, o projétio explode, dividindo em duas novas massas. Uma das massa fica parada no ar antes de começar a cair e a outra segue com uma nova velocidade. Pela conservação de momento temos que o momento linear inicial p → i n i c i a l precisa ser igual ao final p → f i n a l .

Para o momento inicial, temos:

p → i n i c i a l = M ∙ v 0 x

Onde M é a massa do projétil e v 0 x é a componente horizontal da velocidade inicial ( v 0 x = 80 co s ⁡ ( 60 ° ) ).

E o momento linear final vai ser dado pelo soma dos momento de cada fragmento. Como o projétil se divide em dois, temos M 2 nos dois fragmentos, velocidade zero para o primeiro (já que ele fica inicialmente parado no ar) e velocidade inicial v para o segundo fragmento.

Traduzindo isso na equação, vamos ter:

M ⋅ 80   c o s ⁡ ( 60 ° ) = M 2 ⋅ 0 + M 2 v

Isolando v temos que:

v = 2 M 80   c o s ⁡ ( 60 ° ) M

Simplificando:

v = 160 cos ⁡ ( 60 ° )

Logo,

v = 80   m / s

Passo 4

Agora que já temos a altura e a velocidade inicial do segundo fragmento, precisamos descobrir o tempo de queda dele.

Pra isso, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado (MUV):

S = S o + v o ⋅ t - g t 2 2

Como o tempo de queda para o primeiro e o segundo fragmento é o mesmo, consideramos S 0 = h , que é altura, a velocidade inicial v 0 = 0 e a posição final S = 0 (que é o chão).

Assim, temos:

0 = h + 0 ∙ t - g t 2 2

h = g t 2 2

Isolando t nessa equação, temos:

→ t = 2 h g

E substituindo h = 244,90   m e g = 9,8   m / s 2 , vamos obter:

t ≈ 7,07 s

Passo 5

Agora analisando o movimento do segundo fragmento, vamos usar a equação:

S = S o + v o ⋅ t

Que implica em:

Δ S = S - S 0 = v 0 t

Então, a distância alcançada é dada por Δ S . Nós sabemos que v 0 = 80   m / s e que t = 7,07 s . Assim, vamos ter:

Δ S = 0 + 80 ⋅ 7,07 s

Δ S = 565,6   m

Que é a distância entre o ponto inicial do disparo e o ponto onde o segundo fragmento atinge o solo.

Passo 6

Agora para calcular a Energia liberada na explosão, vamos calcular a energia cinética antes e depois da explosão .

A energia cinética inicial era de :

K i = 1 2 M v 2

Substituindo a massa do projétil M = 20   k g e v 0 x = 80 cos ⁡ ( 60 ° ) = 40   m / s , temos:

K i = 20 2 40 2

K i = 1,6 × 10 4 J  

Da mesma forma, calculando a energia cinética final:

K f = 1 2 M 2 v 2 = M 4 v 2

E substituindo os valores, ficamos com:

K f = 5   k g ⋅ 80 m s 2

K f =   3,2 × 10 4 J

Logo, considerando a conservação de energia do sistema, temos que a energia liberada na explosão será dada por:

Δ K = K f - K i

Δ K = 3,2 × 10 4 - 1,6 × 10 4

Δ K = 1,6 × 10 4 J

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 565,6   m
  2. 1,6 × 10 4 J
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