Enunciado

Uma lente delgada biconvexa tem distância focal f .

a) Demonstre que a distância mínima entre um objeto e sua imagem real é igual a 4 f . Para que distância p do objeto à lente esse mínimo é atingido?

b) Qual é o aumento lateral na situação do mínimo?

c) Desenhe o traçado de raios correspondentes à situação do mínimo, tomando como objeto uma seta perpendicular ao eixo.

Passo 1

Se a imagem é real, ela é formada atrás da lente com q > 0 . Assim, a distância do objeto até a imagem será

d = p + q

Portanto,

q = d - p

Sabemos que

1 f = 1 p + 1 q

Substituindo q = d - p :

1 f = 1 p + 1 d - p

Logo,

1 d - p = 1 f - 1 p ⇒ 1 d - p = p - f f p

Com isso,

d - p = f p p - f

Ou ainda

d = p + f p p - f

Passo 2

Fazendo o mmc:

d = p 2 - p f + f p p - f = p 2 p - f

Logo,

d p - d f = p 2

Ou ainda,

p 2 - d p + f d = 0

Para que essa equação tenha solução real, devemos ter

Δ = d 2 - 4 d f ≥ 0

Mas note que

Δ = d ( d - 4 f )

Logo, para que Δ ≥ 0 , devemos ter

d - 4 f ≥ 0

Desta forma, a condição é

d ≥ 4 f

Vemos que a distância mínima do objeto a sua imagem deve ser d = 4 f .

Passo 3

Usando d = 4 f , temos que

p 2 - 4 f p + 4 f 2 = 0

Logo,

p - 2 f 2 = 0

Portanto, temos que

p = 2 f

Passo 4

Para calcular o aumento lateral, usamos a fórmula

m = f f - p

Como p = 2 f :

m = f f - 2 f = f - f

Portanto,

m = - 1

A representação dos raios que formam a imagem é dada a seguir:

Resposta

d ≥ 4 f

P a r a   d = 4 f ⇒ p = 2 f ⇒ m = - 1

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