Enunciado

A ligação relativa do elétron extra no átomo de arsênio que substitui um átomo no silício ou germânio pode ser entendida a partir do cálculo do primeiro raio de Bohr desse elétron nesses materiais. Quatro dos elétrons de valência do arsênio formam ligações covalentes, então o quinto elétron vê um centro de atração com uma carga de + e. Este modelo é um átomo de hidrogênio modificado. No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, o elétron se move no espaço livre em um raio a0 dado por () 2e20 4 0 a π ∈ = h em (Equação 36-12). Quando um elétron se move em um cristal, podemos aproximar o efeito dos outros átomos substituindo ∈0 por κ ∈0 e me por uma massa efetiva para o elétron. Para o silício, κ é 12 e a massa efetiva é de aproximadamente 0,2 me. Para o germânio, κ é 16 e a massa efetiva é de aproximadamente 0,1 me. Estime os raios de Bohr para o elétron de valência conforme ele orbita a impureza do átomo de arsênio no silício e no germânio.

Passo 1

Cara, o enunciado é grande, mas relaxa que a questão nem é haha se liga:

Podemos fazer as substituições indicadas para um a 0   =   0,0529   n m para obter uma expressão para os raios de Bohr para o elétron externo.

Assim, fazendo as substituições:

a B = k ϵ 0 h 2 π m e f e 2

Multiplicando em cima e embaixo por m e :

a B = k ϵ 0 m e h 2 π m e m e f e 2

a B = k m e m e f ϵ 0 h 2 π m e e 2

Assim, a 0 = ϵ 0 h 2 π m e e 2 e:

a B = k m e m e f a 0

Para o silício:

a B , S i = 12 m e 0,2 m e 0,0529   n m

a B , S i = 3   n m

E para o germânio:

a B , G e = 1 6 m e 0 , 1 m e 0,0529   n m

a B , G e = 8   n m

Prontinho!

Resposta

a B , S i = 3   n m

a B , G e = 8   n m

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