Enunciado

(a) Um líquido tem coeficiente de dilatação volumétrica β . Calcule a razão ρ / ρ 0 entre a densidade do líquido à temperatura T e sua densidade ρ 0 à temperatura T 0 . (b) No método de Dulong e Petir para determinar β , o líquido é colocado num tubo em U, com um dos ramos imerso em gelo fundente (temperatura T 0 ) e o outro em óleo aquecido à temperatura T . O nível atingido pelo líquido nos dois ramos é, respectivamente medido pelas alturas h 0 e h . Mostre que a experiência permite determinar β (em lugar do coeficiente de dilatação aparente do líquido), e que o resultado independe de o tubo em U ter secção uniforme. (c) Numa experiência com acetona utilizado este método, T 0 é 0 ° C , T é 20 ° C , h 0 = 1   m e h = 1,03   m . Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica da acetona.

Passo 1

A densidade ρ 0 do líquido à temperatura T 0 :

ρ 0 = m V 0

Onde V 0 é o volume à temperatura T 0 . Quando a temperatura aumenta, o volume do líquido é dado por:

V = V 0 1 + β Δ T

E então sua nova densidade é:

ρ = m V 0 1 + β Δ T

E a razão entre as densidades é:

ρ ρ 0 = m V 0 1 + β Δ T V 0 m

ρ ρ 0 = 1 + β Δ T - 1

E podemos usar uma aproximação para simplificar melhor esse resultado:

1 + x n ≈ 1 + n x

Então:

ρ ρ 0 = 1 - β Δ T

ρ ρ 0 = 1 - β T - T 0

Passo 2

(b) Vamos começar igualando as pressões nos fundos de cada um dos ramos do tubo:

P ó l e o = P g e l o

Perceba que o líquido nos dois ramos é o mesmo, “óleo” e “gelo” são os materiais em torno de cada tubo:

P a t m + ρ g h = P a t m + ρ 0 g h 0

ρ h = ρ 0 h 0

ρ 0 ρ = h h 0

E agora podemos aproveitar a fórmula que encontramos no passo anterior:

ρ 0 ρ = 1 + β Δ T

Obs.: estamos usando a fórmula sem a aproximação que fizemos.

1 + β T - T 0 = h h 0

E assim chegamos em uma fórmula para determinar o coeficiente de dilatação β :

β = h h 0 - 1   1 T - T 0

Aqui já é visível que o resultado não depende do tubo ter seção uniforme.

Passo 3

(c) Agora vamos usar a nossa fórmula para calcular o β da acetona:

β = h h 0 - 1   1 T - T 0

Substituindo os valores numéricos que foram dados no enunciado:

β = 1,03 1,0 - 1   1 20 - 0 = 1,5 × 10 - 3   / ° C

Resposta

(a) A razão é ρ ρ 0 = 1 - β T - T 0 .

(b) O coeficiente de dilatação volumétrica é β = h h 0 - 1   1 T - T 0 .

(c) β = 1,5 × 10 - 3   / ° C .

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