Enunciado

Uma onda sonora plana harmônica de comprimento de onda λ incide perpendicularmente sobre um anteparo opaco com três fendas igualmente espaçadas, de espaçamento d ≫ λ . Para pontos de observação P situados a distâncias R ≫ d , determine as direções de observação θ (Fig. P.5) em que aparecem mínimos de interferência, generalizando a (6.8.11) de duas para três fendas. Qual é a intensidade dos mínimos?

Passo 1

Bom, vamos chamar a fenda superior de O 1 e a fenda inferior de O 2 . Na seção 6.8 do livro, foi deduzido a expressão de interferência para fendas duplas. Para isso, foi considerado a função de onda proveniente de cada fenda se propagando até chegar no ponto P e daí, pelo princípio de superposição, a função de onda resultante era a soma das funções de onda proveniente de cada fenda. Assim, nesse nosso caso, teremos

φ P = φ 1 P + φ O P + φ 2 ( P )

Vamos considerar o caminho que a onda que sai de cada fenda percorre:

*Essa figura foi retirada do livro e adaptada.

Usando notação real, teríamos

φ 1 P = a r 1 cos ⁡ ( k r 1 - ω t )

φ O P = a R cos ⁡ k R - ω t

φ 2 P = a r 2 cos ⁡ k r 2 - ω t

No caso das duas fendas já foi bastante trabalhoso “brincar” com os cossenos. No caso de três fendas seria muito mais complicado. Por isso, vamos usar a notação complexa! A ideia é muito simples, mas primeiro você deve conhecer a fórmula de Euler:

e i θ = cos ⁡ θ + i   s e n   θ

Portanto,

cos ⁡ θ = R e   e i θ

O que nós vamos é o seguinte: vamos usar a função de onda complexa!

ψ 1 P = a r 1   e i ( k r 1 - ω t ) ⇒ φ 1 P = R e ψ 1 P

ψ O P = a R   e i ( k R - ω t ) ⇒ φ O P = R e ψ O P

ψ 2 P = a r 2   e i ( k r 1 - ω t ) ⇒ φ 2 P = R e ψ 1 P

Como isso, a função de onda resultante será

ψ P = ψ 1 P + ψ O P + ψ 2 P

Passo 2

Assim, temos que

ψ P = a   1 r 1 e i k r 1   e - i ω t + 1 R e i k R   e - i ω t + 1 r 2 e i k r 2   e - i ω t

Note que todos os termos têm e - i ω t , de modo que podemos puxar ele em evidência:

ψ P = a   e - i ω t   1 r 1 e i k r 1 + 1 R e i k R + 1 r 2 e i k r 2

Agora vamos fazer uma daquelas aproximações que os físicos sempre fazem e que os alunos não gostam num primeiro momento. É evidente que r 1 ≠ R ≠ r 2 . Todavia, como a distância entre as fendas é pequena, r 1 , R e r 2 são bem próximos. Note que eles aparecem em dois lugares: no denominador e na exponencial complexa. No denominador eles tem um papel de atenuação apenas, enquanto na exponencial eles determinam as fases das oscilações, que é um efeito muito mais significativo numericamente do que a atenuação. Desta forma, por simplicidade, adotamos r 1 ≈ R ≈ r 2 no denominador porém mantemos a distinção deles na exponencial:

ψ P = a   e - i ω t   1 R e i k r 1 + 1 R e i k R + 1 R e i k r 2 = a R   e - i ω t   e i k r 1 + e i k R + e i k r 2

Eu sei que essas aproximações parecem bruxarias, mas elas nos levam a resultados muito precisos e isso foi feito na dedução da fenda dupla feita no livro. Se você quiser conferir lá, dá uma olhada entre as equações 6.8.3 e 6.8.4.

Passo 3

Bom, agora vamos ver a parte onde aparece a interferência! Para isso, considere a figura:

*Essa figura foi retirada e adaptada do livro.

Para R ≫ d , temos que

O A ≈ O 2 B ≈ d   s e n   θ

Assim,

r 1 ≈ R - O A ≈ R - d   s e n   θ

r 2 ≈ R + O 2 B = R + d   s e n   θ

Portanto,

ψ P = a R   e - i ω t   e i k R   e - i k d   s e n   θ + e i k R + e i k R   e + i k d   s e n   θ

Vamos chamar δ = k d   s e n   θ e puxar e i k R em evidência:

ψ P = a R   e i ( k r - ω t ) e - i δ + 1 + e + i δ

Além disso, vou puxar e - i δ para fora no termo em colchetes:

e - i δ + 1 + e + i δ = e - i δ 1 + e i δ + e 2 i δ

Assim,

ψ P = a R   e i ( k r - ω t - δ ) 1 + e i δ + e 2 i δ

Passo 4

Agora, para achar a intensidade, fazemos

I P = ψ P 2

Mas cuidado, esse módulo aqui é o módulo complexo, não basta elevar ao quadrado:

I P = ψ * P   ψ P = a 2 R 2 e - i ( k r - ω t - δ ) e i ( k r - ω t - δ ) 1 + e i δ + e 2 i δ 2

Lembre-se que ψ * é o complexo conjugado de ψ . Se ψ = a + i b , ψ * = a - i b . Assim, basta pegar todos os ligares onde aparece i e trocar por - i .

Note que

e - i ( k r - ω t - δ ) e i ( k r - ω t - δ ) = 1

Assim,

I P = a 2 R 2 1 + e i δ + e 2 i δ 2

O termo que realmente importa para a interferência é

F = 1 + e i δ + e 2 i δ 2

Passo 5

O enunciado deu como sugestão que

F = 1 + e i δ + e 2 i δ 2 = e 3 i δ - 1 e i δ - 1 2 = s e n 2 3 δ 2 s e n 2 δ 2

Assim,

I P = a 2 R 2   s e n 2 3 δ 2 s e n 2 δ 2

A seguir faço um plot dessa função de δ :

A intensidade se anula quando

s e n   3 δ 2

se anula mas

s e n   δ 2

não se anula! Quando ambos se anula, temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 que converge!

Assim, os mínimos de intensidade ocorrem para

3 δ 2 = n π ,               c o m         n 3 ∉ Z

Isso pois quando n / 3 é inteiro, temos que

s e n   δ 2 = s e n   n π 3 = 0

Caso n / 3 não seja inteiro, s e n   n π 3 ≠ 0 . Assim, temos que

δ = 2 n π 3

Mas lembre-se que

δ = k d   s e n   θ

Assim,

k d   s e n   θ = 2 n π 3

Sabemos também que

k = 2 π λ ⇒ 2 π λ   d   s e n   θ = 2 π ⋅ n 3

Portanto, os ângulos θ n em que a intensidade é nula (mínima), são dados pela relação

d   s e n   θ n = n λ 3 ,                     n ∈ Z ,           m a s     c o m   n 3 ∉ Z

Resposta

d   s e n   θ n = n λ 3 ,                     n ∈ Z ,           m a s     c o m   n 3 ∉ Z

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