Enunciado

Logo depois que a Terra se formou, o calor liberado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 para 3000   K , valor que permanece até hoje. Supondo que o coeficiente de dilatação volumétrica médio é 3,0.10 - 5   K - 1 , de quanto o raio da Terra aumentou desde que o planeta se formou?

Passo 1

Ok galerinha bonita, o enunciado começa com duas informações:

Primeiro, a variação da temperatura média da Terra:

Δ T = 3000 - 300

∆ T = 2700   K

E segundo, o coeficiente de dilatação volumétrica:

β = 3,0 × 10 - 5  K -1

Passo 2

Show de bolinhas, o objteivo da questão é achar o aumento do raio da Terra. Isso pode ficar bem complicado se começarmos a jogar o volume da esfera aí no meio, então vamos com calma.

Se a gente supor que a Terra é um meio isotrópico (ou seja, que é igual em todas as direções), aparece uma relação simples entre o volume e o raio, porque podemos dizer o seguinte sobre os coeficientes de dilatação linear e volumétrico:

α = β 3

Ou seja, o raio da Terra vai se dilatar com o coeficiente, sendo assim, obtemos que:

α = 1 3 ( 3,0 × 10 - 5 )

α = 10 - 5   K -1

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula da dilatação linear aplicada ao raio da Terra:

Δ r = r o α Δ T

Como o raio da Terra é r 0 = 6,4 × 10 6   m :

Δ r = ( 6,4 × 10 6 ) ( 10 - 5 ) ( 2700 )

Δ r = 172   800   m

Portanto:

Δ r ≅ 1,7 × 10 5   m

Ou em km :

Δ r ≅ 1,7 × 10 2   k m

Resposta

A variação do raio é Δ r ≅ 1,7 × 10 2   km .

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