Enunciado

Uma barra de aço com 0,350 m de comprimento e uma barra de alumínio com 0,250 m de comprimento, ambas com o mesmo diâmetro, são dispostas com suas extremidades juntas entre dois suportes rígidos, de modo que não exista nenhuma tensão inicial entre as barras. Eleva-se a temperatura das barras em 60   ° C . Qual é a tensão em cada barra? (Sugestão: o comprimento das duas barras combinadas permanece constante, porém o comprimento individual de cada barra deve variar. Ver problema 17.89.)

Passo 1

Ei galera, beleza? Aqui nós vamos aplicar a equação derivada na parte (a) do Problema 17.89 (como sugerido) às seções de aço e alumínio.

A soma dos valores Δ L das duas seções deve ser zero.

Para o aço:

Y = 20 × 10 10   P a   e α = 1,2 × 10 - 5 ° C - 1

Para o alumínio:

Y = 7,0 × 10 10   P a   e α = 2 , 4 × 10 - 5 ° C - 1

Passo 2

Na derivação da equação da tensão térmica F A = - Y α ∆ T , assumiu-se que Δ L = 0 ; se não for esse o caso, quando houver ambos e tensões de tração, a equação F A = - Y α ∆ T torna-se:

∆ L = L 0 α ∆ T + F A Y

Para a situação neste problema, há duas mudanças de comprimento que devem somar zero e, portanto, a equação F A = - Y α ∆ T pode ser estendida para dois materiais a e b na forma:

L 0 a α a ∆ T + F A Y a + L 0 b ∆ T + F A Y b = 0    

Observe que, acima ,   Δ T , F   e A são o mesmo para as duas hastes. Resolvendo F A :

F A = - α a L 0 a + α b L 0 b L 0 a Y a + L 0 b Y b   ∆ T

⇒ F A = ( 1,2 × 10 - 5 ° C - 1 0,350 m + ( 2,4 × 1 0 - 5 ° C - 1 ) ( 0,250   m ) ( 0,350 m / 20 × 10 10 P a ) + ( 0,250 m / 7 × 10 10 P a   )     60   ° C = 1,2 × 10 8 P a

Passo 3

F / A é negativo e a tensão é compressivo. Se a barra de aço fosse considerada sozinha e seu comprimento foi mantido fixo, a tensão seria - Y a ç o α a ç o ∆ T = - 1,4 × 10 8   P a . Somente para a haste de alumínio, a tensão seria - Y a l u m i n i o α a l u m i n i o ∆ T = - 1,0 × 10 8 P a . A tensão para a haste combinada é a média desses dois valores.

Resposta

1,2 × 10 8 P a

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