Enunciado

45. Uma maçã pesa 1,0   N . Quando você a suspende na extremidade de uma mola longa de massa desprezível e constante igual a 1,50   N / m , ela oscila para cima e para baixo com um M H S . Quando você interrompe a oscilação e deixa a maçã oscilar lateralmente em um ângulo pequeno, a frequência do pêndulo simples é igual à metade da frequência da oscilação vertical. (Como o ângulo é pequeno, a oscilação lateral não produz variação no tamanho da mola.) Determine o comprimento da mola quando ela não está esticada (sem a maçã).

Passo 1

Bem, temos dois movimentos diferentes nessa situação, primeiro um M H S e depois um movimento pendular.

O enunciado fala que a frequência do segundo é a metade da do primeiro, então:

f P = 1 2 f M

Esses dois movimentos têm fórmulas para encontrar suas frequências, para o M H S temos:

f M = 1 2 π k m

E para o pêndulo temos:

f P = 1 2 π g L

Como o enunciado quer o comprimento da mola sem deformação precisamos achar de quanto é a deformação causada pela maçã.

Podemos achar isso utilizando a segunda lei de Newton na vertical, já que só temos a força peso e a força elástica atuando nessas direções, considerando o caso da maçã parada a força resultante é zero, assim temos:

k Δ L - m g = 0

Onde Δ L é a deformação da mola. Isolando essa deformação, ficamos com:

Δ L = m g k

Passo 2

Vamos começar então substituindo as fórmulas que temos para as frequências na igualdade que mostrada no passo 1 , então:

f P = 1 2 f M

⇒ 1 2 π g L = 1 2 1 2 π k m

⇒ g L = 1 2 k m

Passando 1 / 2 para dentro da raiz ficamos com:

g L = k 4 m

Temos então que:

g L = k 4 m

⇒ L = 4 m g k

Lembrando que P = m g , o enunciado nos fala que o peso da maçã é 1 N e que k = 1,50   N / m , assim:

L = 4 * 1 1,5

⇒ L = 2,67   m

O que encontramos foi o comprimento da mola com a deformação, agora temos que achar o valor da deformação e subtrair disso.

Passo 3

Vamos lá então, encontrar a deformação causada pela maçã, por meio daquela fórmula mostrada no fim do passo 1 .

Δ L = m g k

Já sabemos que m g = 1   N e que k = 1,50   N / m , assim:

Δ L = 1 1,5

⇒ Δ L = 0,67   m

Assim o comprimento natural da mola é:

2,67 - 0 , 67 = 2   m

Resposta

L s e m   m a ç ã = 2   m

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