Enunciado

A magnitude da força ( F ) que uma mola exerce quando distendida de uma distância x a partir de seu comprimento quando frouxa é governada pela lei de Hooke, F = k x . (a) Quais são as dimensões da constante de força, k ? (b) Quais são as dimensões e as unidades SI da quantidade k x ² ?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Queremos as dimensões da constante k . A ideia é achar essas dimensões usando as dimensões básicas

Aqui vamos usar a Tabela 1-2 para achar as dimensões e os símbolos das grandezas que ele menciona, tá?

As dimensões básicas que vamos usar e os símbolos delas são

- tempo: T

- massa: M

- comprimento L

Primeiro vamos reescrever todas as dimensões que ele deu usando somente essas dimensões básicas. As grandezas que não forem dimensões básicas vamos colocar entre colchetes [   ] .

Ele nos dá a força F , pela tabela, a força tem essa dimensão:

F = m L T 2

x é uma distância, então a sua dimensão é somente o comprimento

x = L

Pela lei de Hooke dada, sabemos que:

F = k ⋅ x

Essa igualdade vale também para as dimensões usadas. A ideia é usar essa igualdade e as dimensões que a gente pegou para F e x , e chegar nas dimensões de k . Para fazer contas com as dimensões vamos apenas usar as regrinhas algébricas de sempre. Bora!

Passo 2

Como queremos saber a magnitude de k , devemos isolar k e substituir as magnitudes conhecidas para a força F e para x .

F = k ⋅ x

k = F x

Essa igualdade também tem que valer para as dimensões usadas, então:

k = F x

Substituindo o que achamos no passo 1

k = M L T 2 L = M T 2

Então a dimensão de k é massa dividida pelo quadrado do tempo.

Passo 3

No item (b), nos é perguntado a magnitude de k x 2 . Vamos primeiro achar as dimensões de k x 2 .

A dimensão de x 2 vai ser a dimensão de x elevada ao quadrado:

x = L → x 2 = L 2

E como

k = M T 2

Temos que:

k x 2 = k x 2 = M T 2 ⋅ L 2

k x 2 = M L 2 T 2

Passo 4

Agora vamos reescrever os termos dessa última expressão com as unidades básicas do SI.

A unidade de comprimento do SI é o metro m , a da massa é o quilograma k g e do tempo é o segundo s .

Vamos pegar nossa expressão das dimensões de k x 2

k x 2 = M L 2 T 2

E substituir no símbolo da massa M a unidade da massa k g , no símbolo do comprimento L   a unidade do comprimento m e no símbolo do tempo T a unidade do tempo s , ficamos assim

k x 2 = M L 2 T 2 = k g ⋅ m 2 s 2

Resposta

a ) k = M T 2

b ) k x 2 = M L 2 T 2 = k g ⋅ m 2 s 2

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