Enunciado

A maior força que podemos exercer sobre um objeto com um dente molar é cerca de 750   N . Suponha que, quando você morde gradualmente um caramelo este resiste à compressão exercida por um dos dentes atuando como uma mola para a qual k = 2,5   .   10 5   N / m . Determine (a) a compressão do caramelo e (b) o trabalho realizado pelo seu dente sobre o caramelo durante a compressão. (c) Plote o módulo da sua força em função da compressão. (d) Se existe uma energia potencial associada a essa compressão, desenhe um gráfico da energia potencial em função da compressão.

Na década de 1990 , marcas profundas de dentadas foram descobertas na pelve do fóssil de um dinossauro Triceratops. A forma das marcas sugeria que tinham sido feitas por um dinossauro Tiranossauro rex. Para testar a ideia, os cientistas fabricaram uma réplica de um dente de um T. rex feita de bronze e alumínio e usaram uma prensa hidráulica para introduzir gradualmente a réplica em um osso de vaca até a profundidade observada no osso do Tríceratops. A figura mostra a força empregada em função da profundiade de penetração em um dos ensaios; a força aumenta com a profundidade de penetração em um dos ensaios; a força aumenta com a profundidade porque, à medida que o dente aproximadamente cônico penetra no osso, uma parte maior do dente entra em contato com o osso. (e) Qual foi o trabalho realizado sobre o osso pela prensa hidráulica (e presumivelmente pelo T. rex) nesse ensaio? (f) Existe uma energia potencial associada a esse ensaio? (A grande força da mordida e o alto consumo de energia atribuídos ao T. rex por essa pesquisa sugerem que o animal foi um predador, e não um saprófago.)

Passo 1

(a) Já que o caramelo funciona como uma mola, vamos usar a lei de Hooke para responder as perguntas do enunciado:

F = k x

Para uma força de 750   N e uma constante elástica de 2,5   .   10 5   N / m , a compressão será:

750 = 2,5.10 5 x

x = 3,0   .   10 - 3   m

Passo 2

(b) E para calcular o trabalho realizado sobre o caramelo, podemos usar a fórmula para a energia potencial elástica que foi armazenada nele quando sofreu a compressão que acabamos de calcular.

W = U e

W = 1 2 k x 2

W = 1 2 2,5.10 5 0,003 2

W ≅ 1,1   J

Passo 3

(c) Agora vamos fazer um gráfico da força em função do deslocamento. É só retomar a lei de Hooke:

F = k x

F = 2,5.10 5 x

E o resultado será uma reta com inclinação igual à constante elástica k :

Passo 4

(d) Agora queremos encontrar a energia potencial associada a essa compressão. Em outras palavras, queremos o gráfico da energia potencial elástica que calculamos lá em cima:

U e = 1 2   k x 2

Então:

U e = 1 2   2,5.10 5 x 2

U e = 1,25.10 5 x 2

Passo 5

(e) Já que temos um gráfico de uma força em função do deslocamento, podemos encontrar o trabalho calculando a área sob o gráfico.

Podemos fazer isso de forma bem aproximada usando um triângulo:

Agora é só seguir a escala do gráfico para calcular a área desse triângulo:

A = 1 2 7200 0,012 = 43,2   J

E já que desconsideramos aquele pedaço que ficou para o lado de fora do triângulo, vamos arredondar esse resultado:

A ≅ W = 45   J

Passo 6

(f) No caso do caramelo, que é mais macio, faz sentido pensar que boa parte do trabalho que é realizado sobre ele é armazenado na forma de energia potencial elástica.

Agora, quando falamos de um dente perfurando um osso, estamos lidando com algo muito mais duro. E pouco provável que o osso possa ser “distorcido” de forma que devolva essa energia depois.

Então nesse caso não faz sentido falar em energia potencial.

Resposta

(a) x = 3,0   .   10 - 3   m .

(b) W = 1,1   J .

(c) Ver gráfico.

(d) Ver gráfico.

(e) W = 45   J .

(f) Não faz sentido falar em energia potencial nesse caso.

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