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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 6ª Edição - Mosca, Tripler

Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 6ª Edição - Mosca, Tripler - 11.1 - 21

Um dos maiores problemas não resolvidos na teoria de formação do sistema solar é que, enquanto a massa do Sol é 99,9   p o r   c e n t o da massa total do sistema solar, ele carrega apenas cerca de 2   p o r   c e n t o da quantidade de movimento angular total. A teoria mais aceita de formação do sistema solar tem como hipótese central o colapso de uma nuvem de poeira e gás sujeita à força da gravidade, com quase toda a massa formando o Sol. No entanto, porque a quantidade de movimento angular resultante desta nuvem é conservada, uma teoria simples indicaria que o Sol deveria estar firando muito mais rapidamente do que na verdade está. Neste problema, você deve mostrar por que é importante que a maior parte da quantidade de movimento angulhar tenha sido, de alguma forma, transferida para os planetas. (a) O Sol é uma nuvem de gás mantida unida pela força da gravidade. Se o Sol estivesse girando muito rapidamente, a gravidade não o manteria unido. Usando a massa conhecida do Sol 1,99 × 10 30 k g e seu raio 6,96 × 10 8 m , estime a maior rapidez angular que o Sol pode ter mantendo-se intacto. Qual é o período de rotação correspondente a esta taxa de rotação? (b) Calcule a quantidade de movimento angular orbital de Júpiter e de Saturno a partir de suas massa ( 318   e 95,1 vezes a massa da Terra, respectivamente ) , distâncias médias do Sol ( 778   e 1430 milhões de quilômetros, respectivamente ) e períodos orbitais ( 11,9   e 29,5 anos, respectivamente ) . Compare-as com o valor experimental medido da quantidade de movimento angular do Sol, de 1,91 × 10 41 k g ⋅ m 2 / s . (c) Se, de alguma maneira, transferíssemos toda a quantidade de movimento angular de Júpiter e de Saturno para o Sol, qual seria o novo período de rotação do Sol? O Sol não é uma esfera homogênea de gás e seu momento de inércia é dado pela fórmula I = 0,059 M R 2 . Compare sua resposta com o período máximo de rotação da Parte (a).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar a condição de que a gravidade deve suprir a força centrípeta que mantém um elemento da massa do sol girando em torno dele.

m ω 2 R s < G M s m R s 2

ω 2 R s < G M s R s 2

ω < G M s R s 3

ω < ( 6,673 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) ( 1,99 × 10 30 k g ) 6,96 × 10 8 m 3

ω = 6,28 ⋅ 10 - 4 r a d / s

O período máximo, pode ser calculado:

T m á x = 2 π ω

T m á x = 2 π 6,28 ⋅ 10 - 4 r a d / s

T m á x = 10 4   s = 2,78   h

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item (b):

Aplicando conservação de quantidade de movimento para Júpiter e Saturno, temos:

L J = m J r J v J

L S = m S r S v S

Podemos obter suas velocidades a partir da definição de período:

v J = 2 π r J T J

v S = 2 π r S T S

Substituindo, temos:

L J = m J r J 2 π r J T J

L J = 2 m π r J 2 T J

L S = m S r S 2 π r S T S

L S = 2 m π r S 2 T S

Aplicando os valores conhecidos, temos:

L J = 2 π ( 318 M E ) r J 2 T J

L J = 2 π 318 5,98 ⋅ 10 24   k g 779 ⋅ 10 9 m 2 11,9   a n o s ⋅ 365,24 d a n o ⋅ 24 h d ⋅ 3600 s h

L J = 1,93 ⋅ 10 43 k g ⋅ m 2 / s

L S = 2 π ( 95,1 M E ) r S 2 T S

L S = 2 π 95,1 5,98 ⋅ 10 24   k g 1430 ⋅ 10 9 m 2 29,5   a n o s ⋅ 365,24 d a n o ⋅ 24 h d ⋅ 3600 s h

L S = 7,85 ⋅ 10 42 k g ⋅ m 2 / s

Relacionando as quantidades de movimento com a do sol, temos:

L s o l L J + L S = 1,91 ⋅ 10 41 k g ⋅ m 2 / s ( 19,3 + 7,85 ) ⋅ 10 42 k g ⋅ m 2 / s

L s o l L J + L S = 0,70 %

Passo 3

Item (c):

O período rotacional do sol depende da velocidade angular:

T s o l = 2 π ω f

Podemos obtê-la a partir da da quantidade de movimento angular:

L f = L i + L J + L S

I s o l ω f = I s o l ω i + L J + L S

ω f = ω i + L J + L S I s o l

ω f = 2 π T s o l + L J + L S 0,059 M s o l R s o l 2

ω f = 2 π 30 d ⋅ 24 h d ⋅ 3600 s h + ( 19,3 + 7,85 ) ⋅ 10 42 k g ⋅ m 2 / s 0,059 1,99 ⋅ 10 30   k g 6,96 ⋅ 10 8   m 2

ω f = 4,798 ⋅ 10 - 4 r a d / s

Portanto:

T s o l = 2 π 4,798 ⋅ 10 - 4 ⋅ r a d s ⋅ 3600 s h

T s o l = 3,64   h

Relacionando com o período máximo, temos:

T s o l T m á x = 3,64   h 2,78   h = 1,31

T s o l = 1,31 T m á x

Resposta

a ) ω = 6,28 ⋅ 10 - 4 r a d / s

T m á x = 10 4   s = 2,78   h

b ) L J = 1,93 ⋅ 10 43 k g ⋅ m 2 / s

L S = 7,85 ⋅ 10 42 k g ⋅ m 2 / s

L s o l L J + L S = 0,70 %

c ) T s o l = 3,64   h

T s o l = 1,31 T m á x

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