1.

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 . Expresse seus resultados em função de m onde for necessário.

a ) O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por r → ( t ) = 10 - 4 t i → + 2 j → onde i →   e j → são os versores dos eixos x e y , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.

Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens b , c e d , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → e v → ( 0 ) = - 4 i → .

b ) Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.

c ) Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

d ) Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.

e ) O planeta agora é uma esfera de raio R com densidade que varia radialmente de r = 0 a r = R de acordo com

ρ r = 4 M 3 R 2   R - r 2 ,   t a l   q u e   ∫ 0 R ρ r d r = M .

Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de R , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).

Resolução
2.

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 .

Agora, considere também um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas.

Sabendo que a energia total do projétil é E = - 2 m e seu momento angular é L = 8 m .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

Resolução

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