Enunciado

Você está em um balão flutuante de ar quente quando você joga uma bola de baseball diretamente para baixo com uma rapidez inicial de 35,0   k m / h . A bola cai com uma rapidez terminal de 150   k m / h . Assumindo o que o arrasto do ar é proporcional ao quadrado da rapidez, use o método de Euler (planilha) para estimar a rapidez da bola depois de 10,0   s . Qual é a incerteza nessa estimativa? Você deixa cair uma segunda bola, essa solta a partir do repouso. Quanto tempo ela leva para atingir 99 % da sua rapidez terminal? Por qual distância ela cai durante esse tempo?

Passo 1

Vamos começar escrevendo as forças que atuam sobre a bola durante a queda:

∑ F y = P - F a r r = m a y

E precisamos escrever F a r r como uma função proporcional a v 2 , e a aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo:

m g - b v 2 = m d v d t

No instante em que a aceleração d v / d t   é nula, v é a rapidez terminal v t , então:

m g - b v t 2 = 0

b = m g v t 2

Agora vamos reescrever nossa equação diferencial:

m g - m g v t 2 v 2 = m d v d t

d v d t = g 1 - v 2 v t 2

Passo 2

Beleza, agora vamos usar o método de Euler para extrair resultados dessa equação diferencial, usando intervalos de tempo Δ t = 0,5   s .

A cada passo nós vamos atualizar os valores, começando com x 0 = 0 , v 0 = 35   k m / h (ou v 0 = 9,7   m / s ), a 0 = 9,81   m / s 2 e v t = 150   k m / h (ou v t = 41,67   m / s ).

A aceleração vai variar seguindo a seguinte fórmula:

a n = g 1 - v n 2 v t 2

Para a rapidez vamos usar o seguinte:

v n + 1 = v n + a n Δ t

E para a posição:

x n + 1 = x n + v n + 1 + v n 2 Δ t

Passo 3

Então temos que montar uma planilha em que cada linha corresponde a um instante de tempo t n , que aumenta em passos de 0,5   s .

Para dar um exemplo de como interpretar as fórmulas, vamos dar uma olhada nessa:

a n = g 1 - v n 2 v t 2

Ela diz que, em cada linha, o cálculo da aceleração vai se basear na rapidez da mesma linha (na primeira se usa a rapidez inicial v 0 ):

a n = ( 9,81 ) 1 - v n 2 41,67 2

Com a planilha feita, podemos consultar o resultado em t = 10,0   s e verificar a rapidez:

v ≅ 41,4   m / s

E como estimar a incerteza desse resultado? Vamos reduzir o tamanho dos passos para Δ t = 0,25   s , nesse caso, encontramos:

v ≅ 41,3   m / s

A diferença percentual entre esses resultados será a nossa incerteza:

41,4 - 41,3 41,4 ≅ 0,2 %

Passo 4

Para considerar o caso em que a bola cai a partir do repouso, vamos trocar a rapidez inicial da nossa planilha para v 0 = 0 .

E queremos saber quanto tempo ela demora para atingir 99 % de v t :

0,99 v t = 0,99 41,67 = 41,25   m / s

Consultando a planilha, vemos que essa velocidade só é ultrapassada em t = 10,75   s , a linha completa é:

Resposta

A rapidez da bola depois de 10   s é próxima de 41,4   m / s . A incerteza é de aproximadamente 0,2 % . Quando solta a partir do repouso, a bola leva 10,75   s para atingir 99 % da rapidez terminal, e nesse instante a distância percorrida é próxima 329   m .

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