Enunciado

Uma máquina de Atwood, cuja polia é sem massa e sem atrito e cujo cordão é sem massa, tem um corpo de 2,00   k g suspenso de um lado e um corpo de 4,00 kg suspenso do outro lado. (a) Qual é a rapidez de cada corpo 1,50   s depois deles terem sido simultaneamente largados do repouso? (b) Neste momento, qual é a velocidade do centro de massa dos dois corpos? (c) Neste momento, qual é a aceleração do centro de massa dos dois objetos?

Passo 1

As forças que atuam nos objetos 2,00 kg ( m 1 ) e 4,00 kg ( m 2 ) são mostradas no diagrama do corpo livre abaixo. Note que os dois objetos têm a mesma aceleração e velocidades comuns. Nós podemos usar a equação da aceleração constante e a Segunda Lei de Newton na análise do movimento desses objetos.

Passo 2

Item (a)

Usando a equação da aceleração constante para relacionar a velocidade do

objetos para sua aceleração comum:

v t = v 0 x + a y t

Considerando v 0 y = 0 :

v t = a y t

Aplicando ∑ F y = m a y no objeto de massa m 1 :

T 1 - m 1 g = m 1 a y

Aplicando ∑ F y = m a y no objeto de massa m 2 :

m 2 g - T 2 = m 2 a y

Como T 1 = T 2 ,   somando as duas equações acima:

m 2 g - m 1 g = m 1 a y + m 2 a y ⇒ a y = m 2 - m 1 m 2 + m 1 g

Substituindo na equação da velocidade:

v t = m 2 - m 1 m 2 + m 1 g t

E, por fim, substituindo pelos valores numéricos para encontrar v ( 1,5   s ) :

v 1,5   s = 4,00   k g - 2,00 k g 4,00   k g + 2,00   k g 9,81 m s 2 1,5   s = 4,905 m s = 4,91   m / s

Passo 3

Item (b)

A velocidade do centro de massa é dado por:

v c m → = m 1 v 1 → + m 2 v 2 → m 1 + m 2

Substituindo por valores numéricos para encontrar v c m ( 1,5   s ) :

v c m 1,5   s = 2,00   k g 4,905 m s j ^ + 4,00   k g - 4,905 m s j ^ 2,00 k g + 4,00   k g = - 1,64 m s j ^

Então, a velocidade do centro de massa é 1,64   m / s   para baixo.

Passo 4

Item (c)

A aceleração do centro de massa é dada por:

a c m → = m 1 a 1 → + m 2 a 2 → m 1 + m 2

Substituindo por a y que encontramos anteriormente e simplificando:

a c m → = m 1 m 2 - m 1 m 2 + m 1 g j ^ + m 2 - m 2 - m 1 m 2 + m 1 g j ^ m 1 + m 2 = - m 2 - m 1 m 2 + m 1 2 g j ^

Agora, substituindo por valores numéricos:

a c m → = - 4,00   k g - 2,00   k g 4,00   k g + 2,00   k g 2 9,81 m s 2 j ^ = - 1,09 m s 2 j ^

Então, a aceleração do centro de massa é 1,09   m / s 2 para baixo.

Resposta

a   v 1,5   s = 4,91   m / s

b   v c m 1,5   s = - 1,64 m s j ^

c   a c m → = - 1,09 m s 2 j ^

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