Enunciado

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Em uma máquina térmica, 2,00 mols de um gás diatômico são conduzidos pelo ciclo ABCA, como mostrado na Figura 19-20. (O diagrama PV não está desenhado em escala). Em A, a pressão e a temperatura são 5,00 atm e 600 K. O volume em B é o dobro do volume em A. O segmento BC é uma expansão adiabática e o segmento CA é uma compressão isotérmica.

  1. Qual é o volume do gás em A?
  2. Quais é o volume e a temperatura do gás em B?
  3. Qual é a temperatura do gás em C?
  4. Qual é o volume do gás em C?
  5. Quanto trabalho é feito pelo gás em cada um dos três segmentos do ciclo?
  6. Quanto calor é absorvido ou liberado pelo gás em cada segmento deste ciclo?

Passo 1

a) Olá! Tudo bem? A gente tem um ciclo e ele pede para gente achar algumas informações sobre ele. Vamos usar também fórmulinhas dos capítulos anteriores aqui, tá bem?

Muito bem, a primeira coisa aqui é achar o volume do gás em A. Para um gás ideal usamos a fórmula:

P A V A = n R T A

O enunciado diz que em A, temos que

n = 2   m o l s

R = 8,314 J m o l . K

T A = 600   K

P A = 5   a t m   ×   101325 P a a t m = 506625   P a

Precisamos passar a pressão para P a porque estamos usando joules, tá? Substituímos:

P A V A = n R T A

( 506625   P a ) V A = ( 2   m o l s ) 8,314 J m o l . K ( 600   K )

V A = 1,97 × 10 - 2   m ³

Transformando para litros

V A = 1,97   ×   10 - 2   m ³   × 1   L 10 - 3   m ³ = 19,7   L

Passo 2

b) Próxima pergunta, qual é o volume e a temperatura do gás em B. Ele diz que o volume em B é o dobro do volume em A, então:

V B = 2 V A

V B = 39,4   ×   10 - 3   m ³

Em litros:

V B = 39,4   ×   10 - 3   m ³   ×   1   L 10 - 3   m ³ = 39,4   L

Quanto a temperatura, podemos usar a lei para os gases para esse ponto

P B V B = n R T B

Lembrando que pelo diagrama, a pressão em A é igual a pressão em B

P B = P A = 506625   P a

Substituindo:

( 506625   P a ) ( 39,4   ×   10 - 3   m ³ ) = 2   m o l s 8,314 J m o l . K T B

T B = 1200   K

Passo 3

c) O que queremos? A temperatura em C.

A gente tem que a curva CA é uma compressão isotérmica. Isso significa que todos os pontos dessa curva têm a mesma temperatura. Inclusive C e A!

Como a gente sabe a temperatura em A, a em C é:

T C = T A = 600   K

Passo 4

d) E vamos seguindo! E agora? Devemos achar o volume em C.

Como o segmento BC é adiabático, temos que para todos os pontos desse segmento, vale que:

T V γ - 1 = c o n s t a n t e

Então vale usar a seguinte relação entre os pontos B e C:

T B . V B γ - 1 = T C . V C γ - 1

Onde:

γ = C p C v

Sabendo que para um gás diatômico (nosso tipo de gás) C p = n R + C v e C v = 5 2 n R :

γ = n R + C v C v = n R + 5 2 n R 5 2 n R = 1 + 5 2 5 2

Assim:

γ = 7 5

E nossa expressão fica:

T B . V B 7 5 - 1 = T C . V C 7 5 - 1

T B . V B 2 5 = T C . V C 2 5

Isolando o volume:

V C = V B T B T C 5 2  

Substituindo:

V C = 39,4   x   10 - 3   m ³ 1200   K 600 K 5 2 = 0,223   m ³

Em litros:

V C = 223   L

Passo 5

e) Agora vamos para o trabalho. No segmento AB, expansão à pressão constante, o trabalho é calculado como:

W A B = P A ∆ V = P A ( V B - V A )

Colocando os valores:

W A B = 506625   P a   ( 3,94   x   10 - 2   m ³ - 1,97   x   10 - 2   m ³ )

W A B = 9,98   k J

No segmento BC, expansão adiabática, o trabalho é dado por:

W B C = C v Δ T

Lembrando que C v = 5 2 n R

W B C = 5 2 n R ( T C - T B )

Substituímos:

W B C = 5 2 2   m o l s 8,314 J m o l . K ( 600   K - 1200   K )

W B C = - 24,9   k J

Esse é o trabalho sobre o gás. Então o trabalho realizado pelo gás vai ter sinal trocado

W B C = 24,9   k J

E vamos finalizar os trabalhos achando o segmento CA, compressão isotérmica. O trabalho realizado pelo gás é calculado como:

W C A = n R T A . ln ⁡ V A V C

Colocando os valores:

W C A = 2   m o l s 8,314 J m o l . K ( 600   K ) . ln ⁡ 19,69   L 223   L

W C A = - 24,2   k J

Essa é grande, né? E ainda não acabou.

Passo 6

f) Para terminar a questão nos falta achar o calor para cada etapa. À pressão constante no trecho AB temos a seguinte relação que envolve o calor:

C p = Q Δ T → Q = C p Δ T

Vimos que para um gás diatômico C p = n R + C v e C v = 5 2 n R , então

Q A B = n R + C v ∆ T = n R + 5 2 n R ∆ T

Assim para o trecho AB

Q A B = 7 2 n R ( T B - T A )

Substituindo:

Q A B = 7 2 2   m o l s 8,314 J m o l . K ( 1200   K - 600   K )

Q A B = 34,9   k J

No processo adiabático BC não há troca de calor, então:

Q B C = 0

E, por último, temos um processo isotérmico. Ou seja, não há variação de temperatura. Quando a temperatura não varia não há variação de energia interna do gás:

∆ E B C = 0

Pela primeira lei da termodinâmica:

Δ E B C = Q C A + W s o b r e   o   g á s

Como a variação de energia é nula:

Q C A = - W s o b r e   o   g á s

Lembrando que o trabalho realizado sobre o gás tem sinal inverso ao trabalho realizado pelo gás:

W s o b r e   o   g á s = - W C A

Substituindo:

Q C A = W C A

Então:

Q C A = - 24,2   k J

Terminamos!

Resposta

  1. V A = 19,7   L ;
  2. V B = 39,4   L   |   T B = 1200   K ;
  3. T C = 600   K ;
  4. V C = 223   L ;
  5. W A B = 9,98   k J     W B C = 24,9   k J   W C A = - 24,2   k ;
  6. Q A B = 34,9   k J   |   Q B C = 0   |   Q C A = - 24,2   k J .

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