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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 12.1 - Ex. 62

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Um lápis sextavado é colocado sobre um caderno (Figura 12-53). Determine o menor coeficiente de atrito, tal que, se a capa do caderno for erguida, o lápis rolará para baixo sem escorregar.

Passo 1

Então gente, para resolver este problema nós temos que colocar as forças que vão atuar neste corpo enquanto ele está no limite do rolamento.

A

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central do hexágono, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g = m . g

É importante percebermos que a força peso passa pelo vértice, porque quando ele está na iminência de rolar o lápis ficará apoiado somente neste ponto! Assim, se quisermos que o lápis fique na iminência de rolar sem escorregar estes dois pontos por uma reta vertical. E nessa situação as condições de equilíbrio ainda serão válidas.

Bem legal, né ?!

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força normal F → N perpendicular à superfície, que neste caso é a capa do caderno, e a força de atrito f → s . M a x . , ou seja, a menor força de atrito necessária para que o corpo saia do repouso.

No caso da iminência do movimento, estas duas forças se relacionam:

f → s .   M a x . = μ s .   . F → N

Agora ficou fácil ! Como as condições de equilíbrio ainda se aplicam só precisamos fazer o somatório das forças e achar o coeficiente de atrito mínimo para que o corpo se mova.

Passo 2

Vamos começar usando a primeira condição. Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Quando observamos as forças, a força peso faz um ângulo θ com eixo y, obtemos isso fazendo uma manipulação matemática bem rápida. Se observarmos a geometria do hexágono:

O hexágono é formado por 6 triângulos equilátero, ou seja, possui os três ângulos iguais a 60° e os três lados iguais, a. O ângulo então pode ser calculado pelo triângulo retângulo formado na figura:

s e n   θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a = a 2 a = 1 2

θ = s e n - 1 1 2 = 30 °

Agora que temos estes dados podemos calcular a força peso na direção x e y:

P → x P = sen ⁡   30 ° →   P → x = P 2 = m . g 2

P → y P = cos ⁡   30 ° →   P → y = 3 . P 2 = 3 . m g 2

Muito bem ! já sabemos todas as forças atuantes no corpo em ambas as direções.

Passo 3

Agora só nos resta fazer o somatório ! Separando na direção x nós temos a força peso na direção x e a força de atrito, com sentidos opostos:

∑ F x → = P → x - f → s .   M a x . = 0

P → x = f → s .   M a x .

Substituindo P → x   e   f → s .   M a x . :

m . g 2 = μ s .   . F → N

Isolando μ s .   :

μ s .   = m . g 2 . F → N

Na direção y, temos a força da gravidade para baixo e a força normal voltada para cima:

∑ F y → = P → y - F → N = 0

P → y = F → N

Substituindo P → y :

F → N = 3 . m g 2

Substituindo em μ s .   :

μ s .   = m . g 2 . 3 . m g 2 = 1 3 = 0,58

Ou seja, o atrito deve ser maior ou igual a 0,58 para que haja movimento.

Resposta

μ s .   ≥ 0,58

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