Enunciado

Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático γ , que executa o ciclo da figura, onde B C é uma adiabática e C A uma isoterma. (a) Calcule o rendimento em função de r e γ . (b) Exprima o resultado em função da razão ρ = T 1 / T 2 entre as temperaturas externas. (c) Para γ = 1,4 e r = 2 , qual é a razão entre o rendimento obtido e o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre T 1 e T 2 ?

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da fórmula para a eficiência de um motor:

η = W Q

Nosso primeiro passo será calcular o trabalho realizado ao longo do ciclo.

Começando pelo processo adiabático B C , já que o trajeto A B é isovolumétrico, e portanto o trabalho W A B é nulo.

O trabalho é um processo adiabático é dado pela seguinte fórmula:

W B C = - P C V C - P B V B 1 - γ

E sabemos que V C = r V 0 , então vamos fazer P B = P 0 .

W B C = - P C r V 0 - P 0 V 0 1 - γ

E vamos calcular a relação entre as pressões, usando a seguinte relação válida para processos adiabáticos:

P B V B γ = P C V C γ

P 0 V 0 γ = P C r V 0 γ

P C = r - γ P 0

Então vamos substituir isso na fórmula acima:

W B C = - r - γ P 0 r V 0 - P 0 V 0 1 - γ

W B C = - P 0 V 0 r 1 - γ - 1 γ - 1

Passo 2

Agora vamos olhar para o trecho C A , que é isotérmico:

W C A = n R T A ln ⁡ V 0 r V 0

Pela lei dos gases ideais n R T A = P A V A = P A V 0 :

W C A = P A V 0 ln ⁡ 1 r = - P A V 0 ln ⁡ r

E podemos comparar os pontos A e B para melhorar essa expressão:

P A V A T A = P B V B T B         ⇒         P A V 0 T A = P 0 V 0 T 0

P A = T A T 0   P 0

E podemos calcular a relação entre as temperaturas comparando os pontos B e C (já que T C = T A ):

P 0 V 0 T 0 = P C V C T C

Já calculamos P C = r - γ P 0 no primeiro passo, e o gráfico deu V C = r V 0 :

P 0 V 0 T 0 = r - γ P 0 r V 0 T C

T C = T A = r 1 - γ T 0

E agora podemos substituir isso na fórmula anterior:

P A = T A T 0   P 0 = r 1 - γ T 0 T 0 P 0

P A = r 1 - γ P 0

E agora podemos colocar isso na fórmula para W C A :

W C A = - r 1 - γ P 0 V 0 ln ⁡ r

E então o trabalho total realizado ao longo do ciclo é:

W = W A B + W B C + W C A

W = 0 - P 0 V 0 r 1 - γ - 1 γ - 1 - r 1 - γ P 0 V 0 ln ⁡ r

W = P 0 V 0 - r 1 - γ - 1 γ - 1 - r 1 - γ ln ⁡ r

Passo 3

E falta calcular o calor fornecido para o gás.

O processo B C é adiabático, então Q B C = 0 , e no trajeto C A o gás está rejeitando calor. Então só precisamos olhar para o processo A B :

Δ U A B = Q A B - W A B

Q A B = Δ U A B

Q A B = n C v T 0 - T A

Agora só precisamos lembrar da relação T A = r 1 - γ T 0 e C v = R γ - 1 :

Q A B = n R γ - 1 T 0 - r 1 - γ T 0  

Q A B = n R T 0 1 - r 1 - γ γ - 1

E então a eficiência é:

η = W Q = P 0 V 0 - r 1 - γ - 1 γ - 1 - r 1 - γ ln ⁡ r n R T 0 1 - r 1 - γ γ - 1

Pela lei dos gases ideais temos P 0 V 0 = n R T 0 :

η = - r 1 - γ - 1 γ - 1 - r 1 - γ ln ⁡ r 1 - r 1 - γ γ - 1

Podemos “trocar” o sinal do primeiro termo do numerador colocando ( - 1 ) em evidência:

η = 1 - r 1 - γ γ - 1 - r 1 - γ ln ⁡ r 1 - r 1 - γ γ - 1

η = 1 - γ - 1 r 1 - γ 1 - r 1 - γ   ln ⁡ r

Dividindo a fração por ( r 1 - γ ) no numerador e denominador:

η = 1 - γ - 1 ln ⁡ r r γ - 1 - 1

Passo 4

(b) Agora vamos expressar esse resultado em termos de ρ = T 1 / T 2 . Onde T 1 e T 2 são as temperaturas externas:

T 1 = T B

T 2 = T A = T C

Usando a relação que escrevemos antes par as temperaturas T B e T C :

ρ = T B T C = T 0 T 0 r 1 - γ = r γ - 1

Agora vamos reescrever a expressão para η :

η = 1 - γ - 1 ln ⁡ r ρ - 1

E podemos fazer a seguinte substituição:

ρ = r γ - 1

ln ⁡ ρ = γ - 1 ln ⁡ r         ⇒       ln ⁡ r = ln ⁡ ρ γ - 1

Então:

η = 1 - ln ⁡ ρ ρ - 1

Passo 5

(c) Para γ = 1,4 e r = 2 , o rendimento do ciclo é:

η = 1 - γ - 1 ln ⁡ r r γ - 1 - 1 = 1 - 1,4 - 1 ln ⁡ 2 2 1,4 - 1 - 1

η ≈ 0,132

E para o ciclo de Carnot, o rendimento é:

η C = 1 - T 2 T 1 = 1 - 1 ρ

Mas nós calculamos que ρ = r γ - 1 , então:

ρ = 2 1,4 - 1 = 2 0,4 ≈ 1,32

Então:

η C = 1 - 1 1,32 = 0,242

E a razão entre as duas eficiências é:

η η C = 0,132 0,242 ≈ 54,5 %

Resposta

(a) η = 1 - γ - 1 ln ⁡ r r γ - 1 - 1 .

(b) η = 1 - ln ⁡ ρ ρ - 1

(c) A razão entre os rendimentos é 54,5 % .

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