Enunciado

Um fluido é submetido a um ciclo reversível. Se o ciclo é representado por um diagrama no plano ( T , S ) , onde S é a entropia do fluido, (a) Mostre que o trabalho associado ao ciclo é dado por W = ⨕ T d S , a área orientada poe ele compreendida. (b) Represente um ciclo de Carnot para um gás ideal no plano ( T , S ) . Verifique o resultado da parte (a) neste caso. (c) Calcule o rendimento η do ciclo de Carnot da parte (b) diretamente a partir do diagrama ( T , S ) .

Passo 1

Para demonstrar essa igualdade, vamos começar pela definição da entropia:

d s = d Q T

d Q = T d S

E para relacionar isso com o trabalho, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica na forma diferencial:

d Q = d U + P d V

Então:

d U + P d V = T d S

E agora integramos ao longo de um ciclo completo:

∮ d U + ∮ P   d V = ∮ T   d S

Para o ciclo completo, a variação de energia interna é nula:

∮ P   d V = ∮ T   d S

E a integral da esquerda é o trabalho total realizado ao longo do ciclo:

W = ∮ T   d S

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Vamos começar relembrando das etapas em um ciclo de Carnot:

E vamos lembrar também da relação entre T e S :

d s = d Q T

(i) Durante a expansão isotérmica, a temperatura se mantém constante e a entropia aumenta porque o gás recebe calor para expandir. Então temos uma reta horizontal à temperatura T 1 .

(ii) Durante a expansão adiabática, d Q = 0 , então d s = 0 . Mas a temperatura diminui, então temos uma reta vertical à entropia S 2 .

(iii) Durante a compressão isotérmica, a temperatura fica constante e a entropia diminui, porque o gás cede calor ao ser comprimido. Então temos uma reta horizontal à temperatura T 2 .

(iv) Durante a compressão adiabática, d Q = 0 , então d s = 0 . Mas a temperatura aumenta conforme o gás é comprimido, então temos uma reta vertical à entropia S 1 .

Juntando tudo isso, podemos fazer o gráfico no diagrama T , S :

Passo 3

(c) E agora vamos calcular o rendimento do ciclo usando o gráfico que acabamos de desenhar:

η = W Q

O trabalho realizado pelo gás ao longo do ciclo (conforme demonstramos no primeiro passo), segue a seguinte fórmula:

W = ∮ T   d S

Que é simplesmente a área do quadrado:

W = S 2 - S 1 T 1 - T 2

E para calcular Q , temos que considerar apenas os trechos em que o gás absorve calor.

Conforme explicamos no passo anterior, isso só acontece no trecho A B , que é isotérmico, então:

Δ Q = T Δ S

Δ Q = T 1 S 2 - S 1

Então a eficiência é:

η = W Q = S 2 - S 1 T 1 - T 2 T 1 S 2 - S 1 = 1 - T 2 T 1

Onde T 2 é a temperatura da fonte fria e T 1 é a temperatura da fonte quente.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Ver gráfico.

(c) η = 1 - T 2 T 1 .

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