Enunciado

Uma máquina térmica funciona seguindo o ciclo mostrado na Figura 20.26. A substância de trabalho é 2,0   m o l s de gás hélio, que atinge uma temperatura máxima de 327   ° C . considere o hélio um gas ideal. O processo b c é isotérmico. A pressão nos estados a e c é 1,0 × 10 5   P a , e apressão no estado b é 3,0 × 10 5   P a . a) Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo, e qual sua eficiência? c) Compare a eficiência dessa máquina com a máxima eficiência possível dos reservatórios quente e frio usados nesse ciclo.

Passo 1

a) Vamos precisar calcular o calor de cada processo e somar eles para sabermos o calor que entra e o que sai, vamos primeiro calcular o calor do processo a b , usando a equação:

Q a b = n C V ∆ T a b

Como o hélio é monoatômico, C V = 3 2 R e C P = 5 2 R

A gente precisa encontrar a temperatura dos pontos a e b antes de calcularmos o calor, para isso, vamos usar a equação dos gases ideais:

P V = n R T

E Isolar os termos constantes para igualar as duas equações de cada caso:

P a T a = P b T b

Como temos as pressões e a temperatura máxima que é a do processo b :

T a = P b P a T b

T a = 1,0 × 10 5   P a 3 , 0 × 10 5   P a ( 600   K )

T a = 200   K

E agora substituindo os valores para o calor:

Q a b = 2   m o l 3 2 8,31   J / m o l ⋅ K ( 600   K )

Q a b = 9,97 × 10 3   J

Passo 2

Para o processo b c , que é isotérmico, podemos usar a equação:

Q b c = n R T b ln ⁡ V c V b

O problema é que não temos o volume do ponto c e nem do ponto b , vamos usar a equação de gases ideais para encontrarmos V b :

V b = n R T b P b

Com os valores:

V b = 2   m o l ( 8,31   J / m o l ⋅ K ) ( 600   K ) 3,0 × 10 5   P a

V b = 0,0332   m 3

E então usamos de novo a equação, mas agora para igualar os valores dos dois pontos para encontrarmos V c :

P c V c = P b V b

A pressão de c é a mesma que a de a pelo gráfico e a pressão de b é dada no enunciado, assim:

V c = P b P c V b

Substituindo tudo pelos valores que temos:

V c = 3,0 × 10 5   P a 1 , 0 × 10 5   P a 0,0332   m 3 = 0,0997   m 3

Substituindo todos os valores na equação para o calor:

Q b c = 2   m o l ( 8,31   J / m o l ⋅ K ) ( 600   K ) ln ⁡ 0,0997   m 3 0,0332   m 3

Q b c = 1,10 × 10 4   J

E o calor do último processo c a , que está a pressão constante pode ser calculado por:

Q c a = n C P ∆ T c a

Substituindo os valores e as temperaturas que já temos dos dois pontos:

Q c a = 2,0   m o l 5 2 ( 8,31   J / m o l ⋅ K ) ( 400   K )

Q c a = 1,66 × 10 4   J

Como o último processo ocorre uma compressão, o calor que calculamos é liberado pelo gás. E nos outros dois processo o calor é absorvido, já que o processo b c é uma expansão e o processo a b a pressão sobe. Assim:

Q l i b e r a d o = Q c a = - 1,66 × 10 4   J

Q a b s o r v i d o = Q a b + Q b c = 9,97 × 10 3   J + 1,10 × 10 4   J

Q a b s o r i v d o = 2,10 × 10 4   J

Passo 3

b) O trabalho do processo todo pode ser calculado através da primeira lei da termodinâmica, já que é um ciclo fechado, ∆ U = 0 e:

∆ U = Q - W = 0

Q = W

E somando o calor total:

W = Q a b s o r i v d o + Q l i b e r a d o

W = 2,10 × 10 4   J - 1,66 × 10 4   J = 4,4 × 10 3   J

Passo 4

A eficiência será a razão entre o trabalho que acabamos de calcular e o calor absorvido pela máquina:

e = W Q a b s o r v i d o = 4,4 × 10 3   J 2,10 × 10 4   J

e = 0,21 = 21 %

Passo 5

c) A máxima eficiência seria a eficiência de um ciclo de Carnot que utiliza as temperaturas dos reservatórios quente e frio:

e C a r n o t = 1 - T c T H

e C a r n o t = 1 - 318   K 773   K = 0,589 = 58,9 %

A eficiência seria maior que o dobro para os mesmos reservatórios.

Resposta

a   Q l i b e r a d o = - 1,66 × 10 4

b   W = 4,4 × 10 3   J

e = 21 %

c   e C a r n o t = 58,9 %

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