Enunciado

O método mais eficiente para enviar uma espaçonave da Terra a outro planeta consiste em usar uma órbita de transferência de Hohmann (figura 12.38). Se a órbita da partida e a órbita do destino forem circulares, a órbita de transferência de Hohmann será uma elipse cujo periélio tangencia a órbita de um dos planetas e cujo afélio tangencia a órbita do outro planeta. Os foguetes são acionados brevemente na órbita de partida para colocar a espaçonave na órbita de transferência; a seguir, a espaçonave viaja até atingir o planeta desejado. Depois, os foguetes são novamente acionados para colocar a espaçonave na mesma órbita em torno do Sol descrita pelo planeta do destino.

  1. Para uma viagem da Terra até Marte, qual deve ser a direção e o sentido em que o foguete deve ser disparado na Terra e em Marte: no sentido do movimento ou no sentido oposto ao do movimento? E no caso de uma viagem de Marte até a Terra?
  2. Quanto tempo entre os disparos dos foguetes levaria uma viagem de ida da Terra até Marte?
  3. Para atingir Marte a partir da Terra, o lançamento deve ser cronometrado de modo que Marte deve estar no local exato de sua órbita quando a trajetória da espaçonave tangencia a órbita do planeta em torno do Sol. Qual deve ser o ângulo entre a direção do lançamento e a direção da linha que une o Sol com Marte e da linha que une o Sol com a Terra? Use dados do Apêndice F.

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

Letra a)

Para ir da órbita circular da Terra até a órbita de transferência, a energia da espaçonave deve aumentar certo? E os foguetes são disparados na direção oposta à do movimento, ou seja, na direção que aumenta a velocidade!

Uma vez na órbita de Marte, a energia precisa ser aumentada novamente e, portanto, os foguetes precisam ser disparados na direção oposta à do movimento. Na Figura 12.38 do livro, o semi-eixo maior da órbita de transferência é a média aritmética dos raios da órbita da Terra e Marte e, portanto, a energia da espaçonave enquanto na órbita de transferência tem um valor entre as energias das órbitas circulares.

Retornando de Marte para a Terra, o procedimento é revertido e os foguetes são disparados contra a direção do movimento.

Então nos dois casos, o foguete deve ser disparado no sentido contrário ao do movimento!

Passo 2

Letra b)

Vamos primeiro relembrar da terceira lei de Kepler, certo? Ela nos diz que o período de rotação tem a ver com o semi-eixo maior da seguinte forma:

T = 2 π a 3 2 G m S

Beleza?

O tempo que queremos vai ser a metade desse período aí, pois só queremos o tempo de ida, ok?

E o semi-eixo? Bom, como falei ali em cima, ele vai ser a média aritmética dos raios da órbita da Terra e Marte:

a = a T + a M 2 = 1,89 × 10 11 m

Agora é só substituir na fórmula do período (e dividir por dois!) e achamos o tempo:

t = T 2 = 1 2 . 2 π a 3 2 G m S = π a 3 2 G m S

t = π . 1,89 × 10 11 6,67 × 10 - 11 . 1,99 × 10 30 = 2,24 × 10 7 s

Passo 3

Letra c)

Do apêndice tiramos que Marte leva 687 dias para uma volta completa, ou seja, para fazer 360 ° . Sabemos que em um dia temos 86400 s , então vamos fazer uma regrinha de três para saber o ângulo em 2,24 × 10 7 s :

α = 360 ° 687 d . ( 86400 s / d ) . 2,24 × 10 7 s = 135,9 °

A espaçonave passa por ele fazendo um ângulo de 180 ° , então o ângulo entre eles é a diferença entre os ângulos:

θ = 180 - 135,9 = 44,1 °

Resposta

a )   s e n t i d o   c o n t r á r i o   e m   a m b o s   o s   c a s o s

b )   2,24 × 10 7 s

c ) 44,1 °

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