Enunciado

Uma máquina térmica usa 0,350   m o l de um gas diatômico ideal e executa o ciclo indicado no diagrama PV da figura 20.24. O processo 1 → 2 ocorre a volume constante, o processo 2 → 3 é adiabático e o processo 3 → 1 ocorre a uma pressão constante de 1,0   a t m . O valor de γ para esse gás é 1,40 . a) Ache a pressão e o volume nos pontos 1,2 e 3. b) Calcule Q , W e ∆ U em cada um dos três processos. c) Ache o trabalho total realizado pelo gás no ciclo. d) Calcule o fluxo de calor total para o interior da máquina em um ciclo. e) Qual é a eficiência térmica da máquina? Como esse valor se compara à eficiência do ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas T 1 e T 2 ?

Passo 1

a) Para o processo 1 → 2 , vamos usar a equação dos gases ideais para calcularmos a pressão do ponto 2:

P V = n R T

P T = n R V

P 1 T 1 = P 2 T 2

P 2 = T 2 P 1 T 1

Substituindo os valores:

P 2 = 600   K 1,0   a t m 300   K = 2,0   a t m

E para calcularmos volume dos dois estados basta usarmos um dos valores de pressão na equação dos gases ideias e os valores dados de temperatura e número de moles:

V 2 = V 1 = 0,350   m o l ( 8,3145   J / m o l ⋅ K ) ( 300   K ) 1,01 × 10 5   P a = 8,62 × 10 - 3   m 3

Passo 2

Vamos usar o processo 3 → 1 para calcularmos o volume e a pressão do ponto 3, como a pressão é constante, vamos usar a equação dos gases ideias mais uma vez e isolar a temperatura e o volume:

V 1 T 1 = V 3 T 3

Como a gente já calculou o volume do estado 1, basta isolar V 3 e substituir os valores:

V 3 = T 3 V 1 T 1

V 3 = T 3 V 1 T 1

V 3 = 492   K 8,62 × 10 - 3   m 3 300   K = 14,1 × 10 - 3   m 3

E como o processo ocorre a pressão constante, já temos o valor da pressão do ponto 3

Passo 3

b) Como o processo 1 → 2 ocorre a volume constante, W = 0 . E o calor pode ser calculado por:

Q = n C V ∆ T

Substituindo os valores e usando C V = R γ - 1 :

Q = n R γ - 1 ∆ T

Q = ( 0,350   m o l ) 8,3145   J / m o l ⋅ K 1,40 - 1 ( 600 K - 300 K )

Q = 2180   J

E pela primeira lei da termodinâmica:

∆ U = Q - W = Q

∆ U = 2180   J

Para o processo 2 → 3 , Q = 0 , pois o processo é adiabático, podemos calcular a variação da energia interna pela equação:

∆ U = n C V ∆ T

Que pode ser usada para qualquer processo.

Substituindo os valores:

∆ U = 0,350   m o l 8,3145   J / m o l ⋅ K 1,40 - 1 492   K - 600   K

∆ U = - 780   J

E a primeira lei da termodinâmica fica:

∆ U = Q - W = - W

W = 780   J

E para o processo 3 → 1 , a pressão constante, podemos calcular o trabalho usando a equação:

W = P ∆ V = P ( V 1 - V 3 )

Usando os valores que calculamos antes para os volumes e a pressão:

W = ( 1,01 × 10 5   P a ) ( 8,62 × 10 - 3   m 3 - 14 , 1 × 10 - 3   m 3 )

W = - 560   J

Para o calor podemos usar o C P e a equação que relaciona ele com a variação de temperatura:

Q = n C P ∆ T

E como

C P = C V + R = R γ - 1 + R

A equação fica:

Q = n R 1 γ - 1 + 1 ∆ T

Substituindo os valores:

Q = 0,350   m o l ( 8,3145   J / m o l ⋅ K ) 1 1,40 - 1 - 1 ( 492   K - 300   K )

Q = - 1960   J

Usando a primeira lei da termodinâmica para calcular a variação de energia interna:

∆ U = Q - W

∆ U = - 1960   J + 560   J

∆ U = - 1400   J

Passo 4

c) O trabalho total será a soma dos trabalhos realizados em cada processo:

W t o t a l = W 1 → 2 + W 2 → 3 + W 3 → 1  

W t o t a l = 0 + 780   J - 560   J = 220   J

Passo 5

d) O calor utilizado pela máquina no ciclo é a soma do calor de cada processo, assim como fizemos com o trabalho:

Q t o t a l = Q 1 → 2 + Q 2 → 3 + Q 3 → 1

Q t o t a l = 2180   J + 0 - 1960   J = 220   J

Passo 6

e) A eficiência da máquina é dada pela razão entre o trabalho gerado e o calor absorvido pela máquina, que será o calor do processo 1 → 2 :

e = W Q H = 220   J 1960   J = 0,101 = 10,1 %

Comparando essa eficiência com a eficiência de uma máquina de Carnot que usa as temperaturas extremas como o enunciado fala:

e C a r n o t = 1 - T C T H = 1 - 300   K 600   K

e C a r n o t = 0,5 = 50 %

Que será quase cinco vezes maior.

Resposta

a   P 1 = P 3 = 1,01 × 10 5   P a

P 2 = 2,02 × 10 5   P a

V 1 = V 2 = 8,62 × 10 - 3   m 3

V 3 = 14,1 × 10 - 3   m 3

b   W 1 → 2 = 0  

W 2 → 3 = 780   J

W 3 → 1 = - 560   J

Q 1 → 2 = 2180   J  

Q 2 → 3 = 0

Q 3 → 1 = - 1960   J

∆ U 1 → 2 = 2180   J  

∆ U 2 → 3 = - 780   J

∆ U 3 → 1 = - 1400   J

c   W t o t a l = 220   J

( d ) Q t o t a l = 220   J

e   e = 10,1 %  

e C a r n o t = 50 %

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