Enunciado

As massas penduradas nos dois lados de uma máquina de Atwood ideal consistem em uma pilha de cinco arruelas, cada uma de massa m , como mostrado na Figura 4-65. A tensão no fio é T 0 . Quando uma das arruelas é retirada do lado esquerdo, as demais arruelas aceleram e a tensão é reduzida em 0,300   N . (a) Encontre m . (b) Encontre a nova tensão e a aceleração de cada massa quando uma segunda arruela é retirada do lado esquerdo.

Passo 1

a) Olá, querido! Tá bem? Seguinte, vamos tentar entender o que houve aí.

O primeiro momento é esse onde temos uma polia, e presas ao dois lados das cordas temos massas iguais. Por causa disso, elas se equilibram, e esse sistema está parado. Ou seja, ambos os lados tem aceleração a → = 0 .

Então, nesse caso, a tensão em um lado da corda vai ser a força necessária para manter um objeto de massa 5 m parado.

Então, essa tensão precisa ser igual a força peso F g = M g = 5 m g sobre o objeto que o puxa para baixo, ou seja:

T 0 = F g

T 0 = 5 m g

A tensão é a mesma em todos os pontos de uma corda, então T 0 vale para toda a corda.

Só que uma massa m é tirada do objeto do lado esquerdo, então há um desequilíbrio, fazendo com que a tensão diminua 0,3   N

T = T 0 - 0,3

T = 5 m g - 0,3

A partir disso, ele quer saber o valor de m . Bora lá!

Passo 2

O diagrama de corpo livre de cada objeto preso a corda após o equilíbrio está exposto abaixo:

Vê que a colocamos y diferente em cada objeto, no sentido da aceleração, para facilitar nossas contas. O objeto mais pesado vai puxar o outro em sua direção.

Aplicando a segunda lei de Newton para o carinha da esquerda, temos:

∑ F → = M 1 a →

∑ F y = M 1 a y

T - F g 1 = M 1 a y

T - 4 m g = 4 m a y     i

Para o carinha da direita:

∑ F y = M 2 a y

F g 2 - T ' = M 2 a y

5 m g - T ' = 5 m a y     i i

Passo 3

Como T = T ' e a y é a mesma para os dois objetos, porque a corda é a mesma para os dois e eles se movem juntos a ela, temos duas equações relacionando T e a y , um sistema:

T - 4 m g = 4 m a y     i

5 m g - T = 5 m a y     i i

Isolando T nas duas e igualando:

5 m g - 5 m a y = 4 m g + ( 4 m ) a y

Isolando a y que é a única variável que sobrou:

a y = 1 9 g

Substitiundo isso na equação i e isolando T :

T - 4 m g = 4 m 1 9 g  

T = 40 9 m g

Podemos substituir isso na equação que fizemos para T lá no passo 1:

T = 5 m g - 0,3

40 9 m g = 5 m g - 0,3

Isolando m (que a gente quer achar desde o ínicio) e substituindo g = 9,8   m / s 2 :

m = 9 5 0,3 g

m = 9 5 ⋅ 0 , 3 9,81

m = 55,05   g

Passo 4

Item (b):

Podemos seguir o caminho do item anterior para a nova situação:

Aqui o objeto do lado esquerdo perdeu uma massa m . A segunda lei de Newton para ele fica:

∑ F y = M 1 a y

T - 3 m g = ( 3 m ) a y

E para o objeto da direita fica:

∑ F y = M 2 a y

5 m g - T ' = 5 m a y

Como T = T ' , vamos isolar T ' e T nessas duas equações e igualar para achar a y :

5 m g - 5 m a y = 3 m g + ( 3 m ) a y

a y = 1 4 g

Susbtituindo os valores, temos que:

a y = 1 4 ⋅ 9,81

a y = 2,45   m / s 2

Passo 5

Para achar a tensão, a gente pode substituir essa aceleração na equação da segunda lei de Newton do cara da esquerda:

T - 3 m g = ( 3 m ) a y

T - 3 m g = ( 3 m ) 1 4 g

Isolando T :

T = 15 4 m g

Susbtituindo os valores, temos que:

T = 15 4 ⋅ ( 0,05505   k g ) ( 9,81   m / s 2 )

T = 2,03   N

Resposta

a ) m = 55,05   g

b ) a y = 2,45   m / s 2

T = 2,03   N

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