Enunciado

A polia de uma máquina de Atwood ideal recebe uma aceleração a   para cima, como mostrado na Figura 4-67. Encontre a aceleração de cada massa e a tensão no fio que as liga. Nesta situação, os dois blocos não têm a mesma rapidez.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos supor que o bloco m 1 tem massa maior que o bloco m 2 , de forma que a tendência é que o bloco 1 desça e o bloco 2 suba.

Já resolvemos um problema parecido com esse não é mesmo? Só que antes não tinha essa aceleração extra. Como lidamos com ela?

Primeiramente vamos esquecer essa aceleração extra. No caso de antes, nós escreviamos a segunda lei de Newton para as duas massas. Vamos supor que sem a aceleração a a aceleração dos dois corpos seja a '

m 1 a ' = m 1 g - T

m 2 a ' = T - m 2 g

O corpo m 2 está subindo, então a sua aceleração passa a ser a ' + a , já o corpo m 1 está descendo então a aceleração é a ' - a . Assim o nosso sistema de equações fica

m 1 a ' - a = m 1 g - T

m 2 a ' + a = T - m 2 g

Passo 2

Agora vamos rescrever esse sistema da seguinte forma

m 1 a ' = m 1 a + g - T

m 2 a ' = T - m 2 g + a

Olha só que legal! Isso significa que podemos resolver esse problema mudando a aceleração de g para g + a !

Vamos resolver esse sisteminha! Dividindo a primeira equação pela segunda

m 1 a ' m 2 a ' = m 1 a + g - T T - m 2 a + g → m 1 m 2 = m 1 a + g - T T - m 2 a + g

Multiplicando cruzado

m 1 T - m 1 m 2 a + g = m 2 m 1 a + g - m 2 T

Jogando tudo que tem T pra um lado e tudo o que não tem pro outro ficamos com

m 1 T + m 2 T = 2 m 1 m 2 a + g

T m 1 + m 2 = 2 m 1 m 2 a + g

T = 2 m 1 m 2 a + g m 1 + m 2

Passo 3

Pra achar a aceleração podemos somars as duas equações do começo do passo 2

m 1 a ' + m 2 a ' = m 1 a + g - T + T - m 2 a + g

m 1 + m 2 a ' = m 1 - m 2 a + g

a ' = m 1 - m 2 m 1 + m 2 a + g

Belezinha? :D

Resposta

T = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 ( g + a )

a ' = m 1 - m 2 m 1 + m 2 a + g

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