Enunciado

Um medidor venturi é usado para medir a velocidade de um fluido em um cano. O medidor é ligado entre dois segmentos do cano (Figura); a seção reta A na entrada e na saída do medidor é igual à seção reta do cano. Entre a entrada e a saída do medidor o fluido escoa com velocidade V e depois passa com velocidade v por uma “garganta” estreita de seção reta a . Um manômetro liga a parte mais larga do medidor à parte mais estreita. A variação da velocidade do fluido é acompanhada por uma variação ∆ p da pressão do fluido, que produz uma diferença h na altura do líquido nos dois lados do manômetro. (A diferença ∆ p corresponde à pressão na garganta menos a pressão no cano.) (a) Aplicando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade aos pontos 1 e 2 na figura, mostre que

V =   2 a 2 ∆ p ρ ( a 2 - A 2 )

Onde ρ é a massa específica do fluido. (b) Suponha que o fluido é água doce, que a seção reta é 64   c m 2 no cano e 32   c m 2 na garganta, e que a pressão é 55   k P a no cano e 41   k P a na garganta. Qual é a vazão de água em metros cúbicos por segundo?

Passo 1

Belezoca galerinha, a letra (a) já diz que vamos ter que usar a equação de Bernoulli e a equação da continuidade pra demonstrar aquela equação.

A equação de Bernoulli é dada como:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

E a da continuidade diz:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Outra dica que o enunciado dá é que a diferença de pressão entre a parte mais apertada e a parte mais folgada do cano é o que produz a diferença de pressão no tubo em U, e o desnível h nele. Então bora lá ver como fica essa brincadeira ai...

Passo 2

Então vamos aplicar a equação de Bernoulli a esses dois pontos: o mais apertado (vamos dizer que esse é o ponto 2 ), e o mais folgado (vamos dizer que esse é o ponto 1 ).

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

Vamos juntar alguns termos:

p 1 - p 2 + ρ g y 1 - y 2 = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

O cano principal é reto, certo? Então não tem nenhuma diferença de altura, por isso y 1 - y 2 = 0 , e a equação fica assim:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

E essa diferença de pressão? Bem, a fórmula final que eles querem que a gente demonstre inclui esse termo, então vamos deixar ele quieto, só trocando o nome Δ p = p 1 - p 2 :

Δ p = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

Esse v 2 é a velocidade na parte mais apertada, que a questão chama de v (minúsculo) e o v 1 é a velocidade na parte mais larga, que a questão chama de V (maiúsculo). Vamos substituir e isolar o V .

Δ p = 1 2 ρ ( v 2 - V 2 )

- V 2 = 2 Δ p ρ - v 2

Agora falta substituir essa velocidade v .

Passo 3

Aproveitando a dica do enunciado, vamos usar a equação da continuidade. Sabendo que a área maior é A (maiúsculo) e a área menor é a (minúsculo)

A V = a v

v = A V a

Substituindo na equação de cima:

- V 2 = 2 Δ p ρ - A V a 2

- V 2 + A 2 V 2 a 2 = 2 Δ p ρ

Logo:

V 2 A 2 a 2 - 1 = 2 Δ p ρ

V 2 A 2 - a 2 a 2 = 2 Δ p ρ

Tal que:

V = 2 a 2 Δ p ρ ( A 2 - a 2 )

Pronto, está demonstrado!

Passo 4

A letra (b) basicamente dá um monte de números que podemos substituir na equação que acabamos de achar.

Como o fluido é água doce, podemos usar a densidade ρ = 10 3 k g / m 3 . O enunciado também dá A = 64 c m 2 = 64   .   10 - 4   m 2 , e a = 32   c m 2 = 32   .   10 - 4   m 2 .

A questão também dá as duas pressões:

Δ p = 55 - 41 . 10 3 = 14.10 3   P a

Substituindo tudo:

V = 2 32.10 - 4 2 14.10 3 10 3 64.10 - 4 2 - 32.10 - 4 2

V = 3,055   m/s

Passo 5

Ainda não acabou, a questão pede a vazão em metros cúbicos por segundo. Vamos lembrar que isso é exatamente o que aquele produto da equação da continuidade dá.

Ou seja, se chamarmos a vazão de V z , vamos ter:

V z = V A = 3,055 64.10 - 4 = 1,95   .   10 - 2   m 3 / s

Pronto, agora sim acabou.

Resposta

(a) Demonstração

(b) V z = 1,95   .   10 - 2   m 3 / s

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