Enunciado

O módulo de compressão para o osso é de 15   G P a . (a) Se uma mergulhadora em treinamento estiver vestindo um traje pressurizado, por quanto a pressão teria de ser elevada (em atmosferas) acima da pressão atmosférica, para comprimir seus ossos em 0,1 0 % de seu volume original? (b) Dado que a pressão no oceano aumenta em 1,0 × 10 4   P a para cada metro de profundidade abaixo da superfície, a que profundidade essa mergulhadora teria de ir para que seus ossos fossem comprimidos em 0,10 % ? A compressão dos ossos seria um problema com o qual ela precisaria se preocupar ao mergulhar?

Passo 1

Oi pessoal, tudo certo? Vamos analisar essa questão!

Nos foi dito que módulo de compressão para o osso humano é de 15   G P a .

O item a) nos pede para analisar em quanto teríamos que aumentar a pressão, acima da pressão atmosférica, para comprimir os ossos em 0,1 % do volume original.

Podemos então utilizar a equação:

B = - V 0 ⋅ ∆ p ∆ V

Onde:

  • V 0 = v o l u m e   i n i c i a l   d o   o s s o
  • ∆ V = v a r i a ç ã o   d e   v o l u m e   d e   o s s o
  • B = M ó d u l o   d e   c o m p r e s s ã o
  • ∆ p = V a r i a ç ã o   d e   p r e s s ã o

Passo 2

Sabendo disso é só aplicar na fórmula os valores do enunciado. Lembrando que o osso tem que variar 0,1 % do valor do volume original, ou seja:

∆ V = 0,1 % V 0

Ou:

∆ V = 0,001 V 0

Como está ocorrendo uma compressão esse valor fica negativo na nossa expressão.

Assim, teremos que:

15 ⋅ 10 9   P a = - V 0 ⋅ ∆ p ( - 0,001 V 0 )

A variação na pressão será:

∆ p = 15 ⋅ 10 9 ⋅ 0,001   P a

∆ p = 15 ⋅ 10 6   P a

Como a questão nos pediu essa variação na pressão em atmosferas, temos que converter de P a para a t m .

Sabendo que:

1   a t m = 10 5   P a

Temos que:

15 ⋅ 10 6   P a = 150   a t m

Portanto a pressão deve ser elevada em 150   a t m .

∆ p = 150   a t m

Passo 3

O item b) quer saber quantos metros ela teria que mergulhar para que acontecesse a compressão dos ossos em 0,1 % do volume inicial.

Bom... como já respondemos o item anterior... Sabemos que a variação pressão necessária para comprimir 0,1 % do volume inicial dos ossos é de 150   a t m .

O exercício nos diz que a cada metro mergulhado, a pressão aumenta 10 4   P a = 0 , 1   a t m .

Então para obtermos a distância que gera a nossa variação de 150   a t m , é só fazer uma regra de três simples.

0,1   a t m → 1   m

150   a t m → d

d = 150 0,1

d = 1500   m

Ou:

d = 1,5   k m

Sendo essa a distância que se teria que mergulhar para obter uma variação de 0,1 % do volume inicial do osso.

O exercício ainda nos questiona se seria necessário a mergulhadora se preocupar com esse efeito de compressão na hora do mergulho.

Nós vimos que seria necessário mergulhar a uma profundidade gigantesca, de 1,5   k m , para que houvesse uma compressão somente de 0,1 % , portanto, não seria necessário se preocupar com esse efeito.

Resposta

  1. ∆ p = 150   a t m
  2. d = 1,5   k m , não sendo necessário se preocupar com o efeito de compressão que poderia ser considerado até como desprezível para uma profundidade tão grande.
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