Enunciado

Uma barra com área da seção reta A é submetida a forças de dilatação iguais e opostas em suas extremidades. Considere um plano ao longo da barra formando um ângulo θ com o plano da barra (Figura 11.64).

a) Ache a tensão de dilatação (normal) nesse plano em termos de A, de F e de θ .

b) Qual é a tensão de cisalhamento (tangencial) no plano em função de A, de F e de θ ?

c) Para qual valor de θ a tensão de cisalhamento é máxima?

Passo 1

Esse é um caso em que usaremos a tensão de dilatação na seção reta como a razão entre a força e a área A da seção reta

T e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = F ⊥ A

E a tensão de cisalhamento que é a força tangente à superfície de um material, dividida pela área A sobre a qual ela atua:

T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F ∥ A

A tensão de tração depende do componente de F → perpendicular ao plano e a tensão de cisalhamento depende do componente de F → paralelo ao plano, como mostra a figura

Passo 2

As componentes de F → são

A área da face diagonal é A cos ⁡ θ . Sendo assim, teremos que

T e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = F cos ⁡ θ A cos ⁡ θ

T e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = F cos 2 ⁡ θ A

Passo 3

A tensão de cisalhamento será de

T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F ∥ A

T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F sin ⁡ θ A cos ⁡ θ

T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F sin ⁡ θ cos ⁡ θ A

T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F sin ⁡ 2 θ 2 A

Para que essa tensão de cisalhamento seja máxima, sin ⁡ 2 θ = 1 , ou seja, 2 θ = 95 ° e θ = 45 ° .

Resposta

a) T e n s ã o   d e   d i l a t a ç ã o = F cos 2 ⁡ θ A

b) T e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o = F sin ⁡ 2 θ 2 A

c) Para que essa tensão de cisalhamento seja máxima, sin ⁡ 2 θ = 1 , ou seja, 2 θ = 95 ° e θ = 45 ° .

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