Enunciado

O módulo da força gravitacional entre uma partícula de massa m 1 e uma partícula de massa m 2 é dado por

F x = G m 1 m 2 x 2

Onde G é uma constante e x é a distância entre as partículas. (a) Qual é a função energia potencial U ( x ) ? Suponha que U x → 0 quando x → ∞ e que x é positivo. (b) Qual é o trabalho necessário para aumentar a distância entre as partículas de x = x 1 para x = x 1 + d ?

Passo 1

Vamos começar lembrando da definição de uma função de energia potencial.

Se você tem uma partícula sofrendo uma força conservativa d e módulo F , o potencial U ( x ) associado a essa força segue essa relação aqui:

F = - d U d x

Ou então, escrevendo a mesma coisa de outro jeito:

U x = - ∫ λ F   d x

Onde a integral da direita é uma integral do longo do caminho λ (ou “integral de linha ao longo de λ ”).

Para definir o potencial gravitacional, nós avaliamos o caminho necessário para levar a partícula até um ponto x → ∞ , onde a sua energia será zero:

U x = - ∫ x ∞ F   d x

E podemos sumir com aquele sinal se trocarmos os limites de integração:

U x = ∫ ∞ x F   d x

Passo 2

Então beleza, já podemos calcular o potencial que foi dado no enunciado:

U x = ∫ ∞ x G m 1 m 2 x 2   d x

Vamos tirar as constantes de dentro da integral:

U x = G m 1 m 2 ∫ ∞ x 1 x 2   d x

E a integral de 1 / x 2 é - 1 / x , então:

U x = - G m 1 m 2 x x ∞

E o potencial se anula quando x → ∞ , então:

U x = - G m 1 m 2 x

Passo 3

Agora para calcular o trabalho só temos que lembrar da seguinte fórmula:

W = ∫ λ F   d x

Estamos indo de x = x 1 para x = x 1 + d , então>

W = ∫ x 1 x 1 + d G m 1 m 2 x 2   d x

W = ∫ x 1 x 1 + d G m 1 m 2 x 2   d x

W = - G m 1 m 2 x 1 + d - - G m 1 m 2 x 1

Agora é só resolver essa diferença de frações:

W = G m 1 m 2 x 1 - G m 1 m 2 x 1 + d

W = G m 1 m 2 x 1 + G m 1 m 2 d - G m 1 m 2 x 1 x 1 + d x 1

W = G m 1 m 2 d x 1 + d x 1

Resposta

(a) A função da energia potencial é U x = ∫ ∞ x F   d x .

(b) O trabalho necessário para aumentar essa distância é W = G m 1 m 2 d x 1 + d x 1

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