Enunciado

Um mol de gás ideal, com γ = 7 / 5 , está ocntido num recipiente, inicialmente a 1   a t m e 27 ° C . O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V 0 ; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. (a) Desenho o diagrama P - V associado; (b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás; (c) Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii); (d) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas; (e) Calcule a variação de energia interna no processo (i)+(ii).

Passo 1

(a) Podemos desenhar o diagrama P - V da seguinte forma:

Aqui você só precisa seguir as instruções do enunciado, lembrando da relação:

P V = n R T

O que significa que tanto a pressão quanto o volume são diretamente proporcionais à temperatura.

Vamos tentar encontrar os valores de V 0 e P 2 .

Passo 2

Podemos começar usando a lei dos gases ideais sobre o ponto A :

P A V 0 = n R T A

A temperatura está em kelvin, a pressão em a t m e o volume em litros:

V 0 = n R T A P A = 1 0,082 300 1 = 24,6   l

E agora podemos comprar os pontos A e C para encontrar a pressão em C :

P A V A T A = P C V C T C

As temperaturas são iguais nos dois pontos:

P C = V A V C P A

E a razão entre os dois volumes é 4 / 3 :

P C = 4 3 1   a t m = 4 3   a t m

Agora podemos completar o gráfico:

Passo 3

(b) Agora podemos calcular o trabalho realizado ao longo de um ciclo completo.

Nos trechos B C e D A o trabalho é nulo, já que o volume permanece constante. Então só precisamos considerar os trechos A B e C D :

W = W A B + W C D

Nos dois casos a pressão se mantém constante. No trecho A B :

W A B = P Δ V

W A B = 1 1,013.10 5 × 18,5 - 24,6 . 10 - 3 = - 623   J

Onde convertemos as unidades lembrando que 1   a t m = 1,013 × 10 5   P a , e 1   l = 10 - 3   m 3 .

E no trecho C D :

W C D = P Δ V

W C D = 4 3 1,013.10 5 × 24,6 - 18,5 . 10 - 3 = 837   J

Então:

W = W A B + W C D

W = - 623 + 837 = 214   J

Passo 4

(c) Agora queremos calcular a quantidade de calor fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii) (ou seja, o trecho A B C ).

Nesse trecho, os pontos inicial e final estão à mesma temperatura, isso quer dizer que a variação de energia interna entre eles é nula:

Δ U A B C = 0

Então, pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U A B C = Q A B C - W A B C

Q A B C = W A B C

Ou seja, o calor fornecido ao gás é igual ao trabalho realizado por ele. Mas nós já calculamos esse valor no passo anterior:

Q A B C = - 623   J

E o sinal negativo indica que o calor é rejeitado pelo gás.

Passo 5

(d) Agora podemos calcular as temperaturas máxima e mínima atingidas pelo gás.

A temperatura mínima ocorre no ponto B , e podemos calculá-la pela lei dos gases ideais:

T B = P B V B n R = 1 18,5 1 0,082 ≈ 225   K

E a temperatura máxima ocorre no ponto D :

T D = P D V D n R = 4 3 1 24,6 1 0,082 = 400   K

Passo 6

(e) O processo (i)+(ii) nos leva do ponto A até o ponto C .

Esses dois pontos estão sobre a mesma curva isotérmica. Ou seja, a temperatura é a mesma nos dois pontos, portanto a variação de energia interna é nula:

Δ U A C = 0

Resposta

(a) Ver desenho.

(b) W = 214   J .

(c) O gás perde 623   J de calor.

(d) A temperatura máxima é T = 400   K e a mínima é T = 225   K .

(e) A variação de energia interna é nula nesse trecho.

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