Enunciado

Uma mola está em pé sobre uma mesa, com sua extremidade inferior fixada à mesa. Um bloco é solto de uma altura de 3,0   c m e cai sobre a extremidade superior da mola. Ele fica preso à extremidade superior da mola e, então, oscila com amplitude de 10 cm. Qual é a frequência de oscilação?

Passo 1

Se liga! Na imagem a seguir, a posição A indica a posição inicial do bloco, B é o ponto em que o bloco entra em contato com a mola, C indica quando o sistema está na posição de equilíbrio e D a máxima compressão da mola.

Precisamos observar que a oscilação ocorrerá em torno do ponto de equilíbrio. Neste caso, o ponto de equilíbrio é quando a força peso se anula com a força elástica. Então podemos escrever que

k x - P = 0

k x = m g

x = m g k   .   ( 1 )

Esta expressão nos dá a informação do deslocamento do ponto de equilíbrio em relação a posição relaxada da mola.

Passo 2

Como queremos descobrir a frequência de oscilação, precisamos nos lembrar que

f = ω 2 π     ( 2 )

ω = k m

Pela equação (1) podemos reescrever

ω = g x     .   ( 3 )

Passo 3

Agora podemos usar a conservação da energia.

Tomando a posição de equilíbrio como h = 0 podemos dizer que em A a energia do sistema é

E A = U A = m g h + x   .   ( 4 )

Em B a energia do sistema é

E B = U B + K B

Onde

U B = m g x

K B = m v B 2 2

Logo

E B = m g x + m v B 2 2     5 .

Em C a energia do sistema é

E C = E e l , C + K C

Onde

E e l , C = k x 2 2

K C = m v C 2 2

Logo

E C = k x 2 2 + m v C 2 2   .     ( 6 )

Em D a energia do sistema é

E D = E e l , D + U D

Onde

E e l , D = k ( x + A ) 2 2

U D = - m g A

Logo

E D = k ( x + A ) 2 2 - m g A   .     ( 7 )

Passo 4

Se igualarmos a equação (5) com (7), teremos

m g x + m v B 2 2 = k ( x + A ) 2 2 - m g A     ( 8 )

Podemos escrever v B em função da altura que o objeto cai, ou seja, usaremos Torricelli.

v B 2 = 2 g h ⇒ v B 2 2 = g h   ( 9 )

Substituindo na equação (8), temos

m g x + m g h = k ( x + A ) 2 2 - m g A     .  

Usando a equação (1) e substituindo k , temos

m g x + m g h = m g ( x + A ) 2 2 x - m g A     .  

Agora podemos eliminar m g que aparece em todas as parcelas

x + h = x + A 2 2 x - A   .   ( 10 )

Passo 5

Se reescrevermos a equação (10), temos

x 2 + 2 h x - A 2 = 0

Repare que conhecemos os valores de h e A , pois foram dados no enunciado. Sendo assim, temos uma equação de segundo grau e precisamos encontrar o valor de x . Substituindo os valores conhecidos temos

x 2 + 0,06 - 0,1 2 = 0   .

Resolvendo a equação acima encontramos os valores de

x ≈ 0,074   m

x ≈ - 0,134   m

Como no referencial usado sabemos que x > 0 , então ficaremos com

x ≈ 0,074   m   .

Passo 6

Como queremos achar a frequência, precisamos retornar para a equação (3). Portanto

ω = 9,80 0,0744 = 11,48   r a d / s

Substituindo este valor na equação (2), temos

f = 11,48 2 π = 1,83   H z   .

Resposta

f = 1,83   H z

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