Enunciado

Mostre que o coeficiente de desempenho de uma máquina de Carnot funcionando como refrigerador está relacionado ao rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas duas temperaturas por ε C   x   C D C = T f T q .

Passo 1

Olá! Então, o que queremos aqui? Cara, ele pediu para provarmos que

ε C   x   C D C = T f T q

Sendo que T f é a temperatura de um reservatório frio e T q a temperatura de um reservatório quente.

ε C é o rendimento de uma máquina de Carnot atuando entre esses reservatórios e C D c é o coeficiente de desempenho de um refrigerador atuando também entre essas mesmas temperaturas.

Então a ideia é ver o funcionamento da máquina e do refrigerador, e as expressões que os descrevem, relacionar as grandezas que ele deu e provar isso aí. Bora lá!

Passo 2

Legal galera, vamos começar analisando o coeficiente de desempenho para um refrigerador. Ele tem essa expressão

C D C = Q f W

W é o trabalho que ele recebe e Q f é o calor que sai do reservatório frio.

Agora precisamos relacioná-lo à eficiência do ciclo de Carnot. Então vamos manipular um pouco esta equação.

Vamos começar lembrando o esqueminha do refrigerador:

O trabalho e o calor da fonte fria entram e o calor sai para a fonte quente, então podemos escrever essa expressão:

Q f + W = Q q

Isolando Q f :

Q f = Q q - W

Substituindo na expressão de C D C

C D C = Q f W

C D C = Q q - W W

Vamos guardar esta informação!

Passo 3

Nós queremos relacionar a equação do passo 1 com a eficiência da máquina térmica. Vamos lembrar como se calcula:

ε C = W Q q

Então, se nós dividirmos todos os termos da equação do CD por Q q acharemos CD em função da eficiência:

C D C = 1 - W Q q W Q q

Já está ganhando forma, não é?

C D C = 1 - ε C ε C

ε C   x   C D C = 1 - ε C

Passo 4

Quando falamos em ciclo de Carnot, existe outra forma de se calcular a eficiência:

ε C = 1 - T f T q

Substituindo no termo à direita:

ε C   x   C D C = 1 - ε C

ε C   x   C D C = 1 - 1 - T f T q

ε C   x   C D C = 1 - 1 + T f T q

Concluindo:

ε C   x   C D C = T f T q

Prontinho!

Resposta

Demonstração nos passos

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