Enunciado

Mostre que a distância entre um objeto e a imagem real formada por uma lente convergente delgada é sempre maior ou igual a quatro vezes a distância focal da lente.

Passo 1

E aí meus caros(as)! A nossa missão agora é solucionar a questão 116!

Bem! E o que a gente tem aqui é uma questãozinha sobre formação de imagens em lentes corvengente!

Para entender o que está acontecendo vamos dar uma olhada na figura abaixo...

É assim que ocorre a formação de imagens em uma lente convergente!

Agora, vamos dar nomes aos bois! Chamando de p a distância do objeto a lente, de i a distância da imagem e de f a distância focal... A gente tem que essas variáveis vão estar relacionadas pela seguinte equação, típica de lentes delgadas:

1 p + 1 i = 1 f

E essas três grandezas aí, pela situação descrita no enunciado, são positivas!

onsidere dois raios de luz, r e r, que estão acima e abaixo do raio normal (o raio que refaz

Passo 2

Agora, vamos chamar de x a distância do objeto até a imagem... Em lentes convergentes, temos que...

x = p + i

Isolando i ...

i = x - p

E substituindo isso na equação do P a s s o   1 ...

1 p + 1 i = 1 f

1 p + 1 x - p = 1 f

x - p + p p ( x - p ) = 1 f

x p ( x - p ) = 1 f

f x = p x - p 2

p x - f x = p 2

Isolando x ...

x p - f = p 2

x = p 2 p - f

Obtemos uma equação de x em função da distância p do objeto e da distância focal f !

Passo 3

A gente quer determinar a distância entre um objeto e a imagem real formada por uma lente convergente delgada é sempre maior ou igual a quatro vezes a distância focal da lente. Ou seja, estamos trabalhando com um valor mínimo admissível!

Sendo assim, para determinar o valor mínimo de x , derivamos x em relação a p e igualamos o resultado a zero...

d x d p = d d p p 2 p - f = 0

2 p p - f - p 2 p - f 2 = 0

p 2 - 2 p f p - f 2 = 0

p 2 - 2 p f = 0

p 2 = 2 p f

p = 2 f

E então, é só substituir esse valor em x ...

x = p 2 p - f

x = ( 2 f ) 2 2 f - f

x = 4 f

Pra finalizar! Falta ver se esse valor é um mínimo ou máximo! Pra isso, vamos recorrer ao teste da segunda derivada!

d 2 x d p 2 = d 2 d p 2 p 2 p - f = 2 f 2 p - f 3

Substituindo p = 2 f ...

d 2 x d p 2 p = 2 f = 2 f 2 p - f 3 = 2 f 2 2 f - f 3 = 2 f > 0

Como o valor é positivo, então é p = 2 f um ponto de mínimo! Logo, a distância x = 4 f vai ser a distância mínima que estávamos procurando!

Pronto! Finalizamos aqui! Bora pra próxima!

Resposta

x m i n = 4 f

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