Enunciado

Mostre que, se duas partículas têm a mesma energia cinética, então as magnitudes de suas quantidades de movimento são iguais apenas se elas têm a mesma massa.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Ele diz que se uma partícula 1 e uma partícula 2 tem a mesma energia cinética, ou seja

K 1 = K 2 = K

Então para a quantidade de movimento dessas partículas serem iguais, a gente precisa que a massa delas duas sejam iguais também. E ele pede para provar essa afirmação.

Bem, a gente está falando da relação entre energia cinética K e quantidade de movimento p , certo? Então vamos pegar a fórmulinha que relaciona essas duas coisas:

K = p 2 2 m

Onde m vai ser a massa de uma partícula.

Aí a gente pode provar através dela que somente se m 1 = m 2 (as massas das partículas forem iguais), teremos p 1 = p 2 (quantidade de movimento iguais).

Passo 2

Vamos escrever a energia cinética da partícula 1, que podemos dizer que tem massa m 1 e quantidade de movimento p 1 :

K 1 = p 1 2 2 m 1

E agora a energia cinética da partícula 2, que podemos dizer que tem massa m 2 e p 2 :

K 2 = p 2 2 2 m 2

Não temos esses valores de p e m , tá? A gente deixa eles assim mesmo de forma genérica só para provar o que o enunciado pede.

Queremos o caso onde essas energias são iguais, então vamos igualar:

K 1 = K 2

p 1 2 2 m 1 = p 2 2 2 m 2

Passo 3

Se as magnitudes dos momentos forem iguais, temos:

p 1 = p 2 = p

Substituindo isso na nossa expressão:

p 1 2 2 m 1 = p 2 2 2 m 2

p 2 2 m 1 = p 2 2 m 2

Simplificando:

1 m 1 = 1 m 2

Logo:

m 1 = m 2

Ou seja, se as quantidades de movimento são iguais, isso implica diretamente no fato de que as massas das partículas devem ser iguais.

Então para termos p 1 = p 2 , é preciso que m 1 = m 2 .

Resposta

Prova nos passos

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