Enunciado

( a ) Mostre que para a região x > L do poço de potencial finito da Fig. 39-7, ψ x = D e 2 k x , é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional, onde D é uma constante e k é um número real positivo. ( b ) Por que razão a solução matematicamente aceitável do item ( a ) não é fisicamente admissível?

Passo 1

(a) Para o poço de potencial finito, a equação de Schrödinger é:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x ψ = 0

Como a questão pede para mostrarmos que ψ ( x ) = D e 2 k x é uma solução, basta aplicarmos ela e suas derivadas do lado esquerda da equação, se resultar em zero, ela satisfaz. Fazendo a primeira derivada da função:

d ψ d x = 2 k D e 2 k x

E a segunda:

d 2 ψ d x 2 = 4 k 2 D e 2 k x

Passo 2

Substituindo na equação:

4 k 2 D e 2 k x + 8 π 2 m h 2 E - U x D e 2 k x = 0

Dividindo dos dois lados por D e 2 k x :

4 k 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x = 0

Para o seguinte valor de k a equação é satisfeita:

k = - 8 π 2 m 4 h 2 E - U x = π h 2 m U ( x ) - E

Passo 3

(b) A questão diz para a gente que a região é x > L , o que significa que U x > E , fazendo com que a raiz da equação seja positiva, e k seja real. Mas se ele for real, então a função que foi dada como solução:

ψ x = D e 2 k x

Cresce para valores positivos de x exponencialmente, e a integral da densidade de probabilidade ψ 2 x da função de onda ao longo do eixo x não será unitária, então ela é fisicamente impossível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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