Enunciado

Mostre que o fator de qualidade de um circuito RLC de alta qualidade pode ser expresso por

Q = 2 π U Δ U ,

onde Δ U é a energia do circuito perdida em um ciclo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é um exercício teórico bem legal sobre circuitos RLC e osciladores amortecidos. Inclusive, minha resolução é baseada na seção 4.2.(a) do livro de física do Moysés, volume 2. Se você tiver esse livro, aconselho uma lida em boa parte desse capítulo 4 sobre oscilações amortecidas que tem bastante ligação com esse capítulo 26 do livro do Alaor!

A equação diferencial do circuito RLC é

L d I d t + R I + q C = 0 → d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = 0

Definindo γ = R / L e ω 0 2 = 1 / L C , temos que

d 2 q d t 2 + γ d q d t + ω 0 2 q = 0

No regime de amortecimento fraco, a solução dessa equação é

q t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ϕ ,               ω = ω 0 2 - γ 2 4

Considerando a energia armazenada no sistema (indutor + capacitor), temos que

U t = L I 2 2 + q 2 2 C

Passo 2

Derivando a expressão apresentada no último passo:

d U d t = L I d I d t + q c d q d t = I   L d I d t + q C

Mas pela equação diferencial do circuito RLC, temos que

L d I d t + q C = - R I

Com isso,

d U d t = - R I 2

Observe como isso é lindo: a taxa de variação com o tempo da energia no circuito é o negativo da potência dissipada no resistor. É a conservação da energia em toda sua glória.

Mas o problema não terminou por aqui...

Como γ = R / L , podemos escrever

d U d t = - L γ I 2

Passo 3

Voltemos para relação

U t = L I 2 2 + q 2 2 C

Já temos a expressão para carga, a corrente achamos por derivada:

I t = d q d t = d d t A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ϕ = A - γ 2 e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ϕ - ω e - γ 2 t s e n   ω t + ϕ

Com isso,

I 2 = A 2 e - γ t γ 2 4 cos 2 ⁡ ω t + ϕ + γ ω cos ⁡ ω t + ϕ   s e n   ω t + ϕ + ω 2   s e n 2 ω t + ϕ

Vamos avaliar a energia média em um período:

U t = L 2 I 2 + 1 2 C q 2

Para o valor médio da corrente ao quadrado, temos

I 2 = A 2 e - γ t γ 2 4 cos 2 ⁡ ω t + ϕ + γ ω cos ⁡ ω t + ϕ   s e n   ω t + ϕ + ω 2   s e n 2 ω t + ϕ

Aqui vem uma aproximação importante: considerando que a variação na exponencial é lenta (o que vale no limite de amortecimento fraco), podemos tirar ela do valor esperado:

I 2 = A 2 e - γ t γ 2 4 cos 2 ⁡ ω t + ϕ + γ ω cos ⁡ ω t + ϕ   s e n   ω t + ϕ + ω 2 s e n 2 ω t + ϕ

Como cos 2 ⁡ ω t + ϕ = s e n 2 ω t + ϕ = 1 / 2 e cos ⁡ ω t + ϕ   s e n   ω t + ϕ = 0 , temos que

I 2 = A 2 e - γ t 2 γ 2 4 + ω 2 = A 2 e - γ t 2 γ 2 4 + ω 0 2 - γ 2 4 = A 2 ω 0 2 e - γ t 2

Da mesma forma,

q 2 = A 2 e - γ t cos 2 ⁡ ω t + ϕ = A 2 e - γ t 2

Assim podemos escrever a energia média por ciclo:

U = L 2 ⋅ A 2 ω 0 2 e - γ t 2 + 1 2 C ⋅ A 2 e - γ t 2

Como ω 0 2 = 1 / L C , segue que

U t = L ω 0 2 A 2 e - γ t 2

Note que para t = 0 , temos que

U 0 = L ω 0 2 A 2 2

Com isso, podemos escrever

U t = U 0   e - γ t

Passo 4

Agora vem o pulo do gato da demonstração! Derivando a última relação, percebemos que

d U t d t = - γ   U t

Com isso, a interpretação que damos para γ é de uma taxa de decrescimento relativo da energia média com o tempo.

Para achar a energia perdida por ciclo, basta multiplicar a taxa de variação da energia pelo período do ciclo:

Δ U = - d U t d t ⋅ T

O sinal de menos aparece porque a derivada é negativa e estamos interessados em Δ U é módulo. Substituindo a derivada:

Δ U = γ U T

Logo,

Δ U U = γ T

Observe que já estou escrevendo U = U t por economia de notação. Lembrando que T = 2 π / ω , temos que

Δ U U = 2 π γ ω → ω γ = 2 π U Δ U

Por fim, no limite de amortecimento fraco, temos que

ω ≈ ω 0

Assim,

ω 0 γ = 2 π U Δ U

Mas a expressão do lado esquerdo é exatamente o fator de qualidade, de modo que

Q = 2 π U Δ U

Ufa, deu trabalho, mas chegamos lá!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na Fig. 27-81, as forças eletromotrizes das fontes ideais são ε 1 =20,0V ,ε 2 =10,0V ,ε 3 =5,00V e ε 4=5,00V , e todas as resistências são de 2,00Ω . Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido (pa
Na Fig. 27-84, R 1=R 2=2,0Ω ,R 3=4,0Ω ,R 4=3,0Ω ,R 5=1,0Ω ,R 6=R 7=R 8=8,0Ω e as forças eletromotrizes das fontes são ε 1=16V e ε 2 =8,0V . Determine: (a) o valor absoluto e (b) o sentido (para cima o
A bateria de 5,0 V indicada na Figura 26.52 é removida do circuito e substituída por uma bateria de 20,0 V, com seu terminal negativo perto do ponto b . O restante do circuito permanece como indicado
Calcule a fem ε 1 e a fem ε 2 no circuito da Figura 26.50 e a diferença de potencial do ponto b em relação ao ponto a .
No circuito indicado na Figura 26.52, determine (a) a corrente em cada ramo; (b) a diferença de potencial V a b do ponto a em relação ao ponto b .