Enunciado

Mostre que o máximo na distribuição de Planck, Equação (38.32), ocorre para um comprimento de onda λ m dado por λ m = h c 4,965   k T , equação (38.33). Conforme discutido no texto, 4,965 é a raiz da equação (38.34). (b) Avalie as constantes na expressão deduzida no item (a) para mostrar que λ m T possui o valor numérico dado pela lei de deslocamento de Wien, equação (38.30)

Equação (38.32):

I λ = 2 π h c 2 λ 5 ( e k c λ k T - 1 )

Equação (38.33):

λ m = h c 4,965   k T

Equação 38.34 :

5 - x = 5 e - x

Equação (38.30):

λ m T = 2 , 9 × 10 - 3   m ∙ K

Passo 1

(a) Vamos começar olhando para essa equação aqui:

I λ = 2 π h c 2 λ 5 ( e k c λ k T - 1 )

O enunciado quer que a gente encontre o máximo dela em função de λ . Isso quer dizer que precisamos encontrar esse ponto aqui:

d I d λ = 0

Então vamos calcular essa derivada. Mas antes vamos inventar um parâmetro para facilitar nossa vida:

s = h c k T         ⇒           I λ = 2 π h c 2 λ 5 ( e s / λ - 1 )

Agora sim, vamos derivar usando a regra do produto. Primeiro vamos separar a função em dois fatores:

I λ = 2 π h c 2 1 λ 5 ∙ 1 e s / λ - 1

Agora aplicamos a regra do produto:

d I d λ = 2 π h c 2 1 λ 5 ∙ d d λ 1 e s / λ - 1 + 1 e s / λ - 1 ∙ d d λ   1 λ 5

Essa primeira derivada fica assim (usando a regra da cadeia):

d d λ 1 e s / λ - 1 = - 1 e s / λ - 1 2 ∙ d d λ e s λ - 1 = s / λ 2 e s / λ - 1 2 e s / λ

E a outra derivada é bem mais simples:

d d λ   1 λ 5 = - 5 λ 6

Agora vamos jogar tudo isso de volta na regra do produto:

d I d λ = 2 π h c 2 1 λ 5 ∙ s / λ 2 e s / λ - 1 2 e s / λ - 1 e s / λ - 1 5 λ 6

Passo 2

A nossa ideia é igualar essa expressão a zero:

d I d λ = 2 π h c 2 1 λ 5 ∙ s / λ 2 e s / λ - 1 2 e s / λ - 1 e s / λ - 1 5 λ 6 = 0

Então podemos cancelar aquelas constantes:

1 λ 5 ∙ s / λ 2 e s / λ - 1 2 e s / λ - 1 e s / λ - 1 5 λ 6 = 0

E agora simplificando um pouco:

s λ 7 ∙ e s / λ e s / λ - 1 2 - 5 λ 6 e s / λ - 1 = 0

E reorganizando:

s λ 7 ∙ e s / λ e s / λ - 1 2 = 5 λ 6 e s / λ - 1

Multiplicando os dois lados por λ 6 e s / λ - 1 :

s λ ∙ e s / λ e s / λ - 1 = 5

Então:

5 e s / λ - 1 λ = s e s / λ

λ s = 5 e s / λ - 5 e s / λ

Dividindo o numerador e o denominador do lado direito por e s / λ , ficamos com:

s λ = 5 - 5 e - s / λ

E agora é só reorganizar um pouco:

5 e - s / λ = 5 - s λ

Beleza, chegamos exatamente na equação que o enunciado sugeriu:

5 - x = 5 e - x

Só que no nosso caso:

x = s / λ

Passo 3

O enunciado diz que a raiz dessa equação é:

x = 4,965

Então o comprimento de onda máximo é:

s λ m = 4,965

Substituindo com a nossa expressão do s :

s = h c k T             ⇒               λ m = h c 4,965   k T

Pronto! Demonstramos o resultado que foi pedido.

Passo 4

(b) Nesse item o enunciado quer que a gente olhe para essa equação:

λ m = h c 4,965   k T

E avalie as constantes, para mostrar que λ m T = 2 , 9 × 10 - 3   m ∙ K , conforme a equação que foi dada!

A constante de Planck h é:

h = 6,63 × 10 - 34   J s

E a velociadade da luz c é:

c = 3,00 × 10 8   m / s

A constante de Botlzmann é:

k = 1,38 × 10 - 23   J / K

Então, substituindo:

λ m = 6,63 × 10 - 34   J ∙ s ( 3,00 × 10 8   m s )   4,965   1,38 × 10 - 23 J K T

Agora é só fazer essas contas na calculadora! Algumas unidades vão se cancelar, e sobra apenas m ∙ K :

λ m = 2,90 × 10 - 3   m ∙ K T

Que é exatamente onde queríamos chegar.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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