Enunciado

Mostre que é possível substituir o sistema de capacitores da figura por um único capacitor equivalente netre os ponstos a e b e calcule a capacitância deste capacitor.

Passo 1

Para resolvermos, vamos usar o conceito de capacitância equivalente para substituir toda essa quantidade de capacitores por um apenas, analisando sempre como estão conectados e os caminhos que a tensão segue.

Passo 2

Bom, vamos analisar através da tensão que passa por cada capacitor, esse método que, na minha opinião, se torna mais simples. Primeiro vamos nomear cada capacitor da seguinte forma:

Se observarmos bem o primeiro nó, a carga total do circuito ( C e q . V ) será a soma de Q 1 ,   Q 2   e   Q 4 :

Assim, temos que nossa carga total é

Q T = Q 1 + Q 2 + Q 4

Lembrando que a capacitância é dada por:

C e q V = Q T = Q 1 + Q 2 + Q 4 = C 1 V 1 + C 2 V 2 + C 4 V 4

onde V é a diferença de potencial entre a e b .

V =   V a -   V b

Passo 3

Vamos somar todas as tensões que passam cada capacitor, descobrir quanto valem e depois aplicar nessa equação acima. Temos que as tensões são dadas por:

Olhando os capacitores 1 e 6:

V a -   V b = V 1 + V 6

Logo:

V - V 1 - V 6 = 0   ( 1 )

Olhando os capacitores 2, 3 e 6:

V a -   V b = V 2 + V 3 + V 6

Logo:

V - V 2 - V 3 - V 6 = 0   ( 2 )

Olhando os capacitores 2 e 5:

V a -   V b = V 2 + V 5  

Logo:

V - V 2 - V 5 = 0   3

Olhando o capacitor 4:

V a -   V b = V 4

Logo:

V - V 4 = 0   ( 4 )

Passo 4

Vamos olhar para as cargas dos capacitores que se encontram. A união entre os capacitores 2, 3 e 5:

Logo a soma das cargas deve ser igual a zero:

- Q 2 + Q 3 + Q 5 = 0

Vamos colocar em função da tensão, não vamos esquecer que todos os capacitores tem o valor C :

- C V 2 + C V 3 + C V 5 = 0

Dividindo tudo por C e multiplicando por (-1):

V 2 - V 3 - V 5 = 0   ( 5 )

A união entre os capacitores 2, 3 e 5:

Logo a soma das cargas deve ser igual a zero:

- Q 1 - Q 3 + Q 6 = 0

Vamos colocar em função da tensão, não vamos esquecer que todos os capacitores tem o valor C :

- C V 1 - C V 3 + C V 6 = 0

Dividindo tudo por C :

V 6 - V 1 - V 3 = 0   ( 6 )

Passo 5

Essas são todas as equações que precisamos. Logo de cara já conseguimos que V 4 = V , só precisamos agora de V 1 e V 2 . Vamos manipular primeiro a equação (1), escrevendo ela como

V 1 = V - V 6   ( 7 )

Agora manipulando nossa equação (6), teremos que

V 6 = V 1 + V 3   ( 8 )

Substituindo em (7), teremos que

V 1 = 1 2 V - V 3 .   ( 9 )

Se manipularmos agora nossa equação (5), teremos que

V 3 = V 2 - V 5   10

E (prometo que ta acabando gente, vamo la) manipulando agora a equação (3), vamos chegar que

V 5 = V - V 2   ( 11 )

Substituindo (10) em (11), vamos chegar que:

V 5 = 1 2 V - V 3   12

Igualando V 1 e V 5 , vamos chegar que V 3 = 0 , pois assim é o único jeito da equação ser satisfeita. Agora que temos V 3 , vamos achar V 1 e V 2 . Usando a (9), temos que

V 1 = 1 2 V

E como V 1 = V 5 = 1 2 V , podemos substituir V 5 em (11) para achar V 2 , que será

V 2 = 1 2 V .

Substituindo agora na nossa equação para a capacitância equivalente, temos que

C e q V = C 1 ⋅ 1 2 V + C 2 ⋅ 1 2 V + C 4 V  

Como todos os capacitores tem capacitância C , temos que nosso capacitor equivalente será de:

C e q = 1 2 C + 1 2 C + C = 2 C .

Resposta

C e q = 2 C

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