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Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.

Passo 1

Ele pede para a gente mostrar que a razão entre duas amplitudes consecutivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.

Se a gente quer a razão entre amplitudes em dois momentos, é legal ter a expressão da amplitude em função de t para um oscilador linearmente amortecido.

Pesquisando no livro (ou no seu caderno), vemos que a fórmula que dá a amplitude das oscilações em função do tempo é a seguinte:

A t = A 0 e - t 2 τ

Onde τ = m / b é a constante de tempo. Sendo m a massa e b a constante de amortecimento que é uma propriedade do movimento.

Se a amplitude de certa oscilação é dada por A ( t ) , então a amplitude da oscilação seguinte acontece depois que passa o tempo de uma oscilação completa, ou seja, um período T depois.

Nesse novo momento, estamos no instante t + T e amplitude é A ( t + T ) . Então a razão que queremos calcular e provar que é constante é:

r = A t A ( t + T )

Passo 2

Temos que

A t = A 0 e - t 2 τ

A t + T = A 0 e - t + H 2 τ

Agora vamos dividir um pelo outro para encontrar r :

r = A t A ( t + T ) = A 0 e - t 2 τ A 0 e - t + H 2 τ

r = e - t 2 τ e - t + H 2 τ

Passo 3

E quando dividimos duas funções exponenciais, pelas propriedades de potência, o novo expoente será a diferença dos dois expoentes originais. Logo nossa razão fica

r = e - t 2 τ - - t + H 2 τ

r = e - t 2 τ + t + H 2 τ

r = e - t 2 τ + t 2 τ + T 2 τ

r = e T 2 τ

O período de uma oscilação amortecida também é constante. E o τ como o nome diz é a constante do tempo. Então r depende apenas de constante.

Assim podemos garantir que a razão entre as amplitudes de duas oscilações consecutivas também é constante.

Resposta

A razão é constante e dada por r = e T 2 τ .

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