Enunciado

Um oscilador tem um período de 3,00   s . Sua amplitude diminui 5,00 por cento em cada ciclo. (a) De quanto diminui sua energia mecânica em cada ciclo? (b) Qual é a constante de tempo τ ? (c) Qual é o fator Q ?

Passo 1

(a) Se amplitude diminui 5,00 % em cada ciclo, então podemos escrever a seguinte relação entre duas amplitudes consecutivas:

A 2 = 1 - 0,05 A 1

A 2 = 0,95   A 1

E como podemos escrever a energia mecânica em função dessa amplitude?

E = 1 2 k A 2

Então a variação da energia mecânica é:

Δ E = 1 2 k A 2 2 - 1 2 k A 1 2

Δ E = 1 2 k A 1 2 0,95 2 - 1,00 2 = - 0,0975 1 2 k A 1 2

E em termos percentuais, a variação da energia é:

Δ E E = - 0,0975 1 2 k A 1 2 1 2 k A 1 2 = 0,0975

E então:

Δ E E ≅ 10 %

Passo 2

(b) Quando o amortecimento é pequeno, podemos fazer a seguinte aproximação:

Δ E E = T τ

E como acabamos de calcular que o termo da direita é 10 % :

τ = T 0,1

τ = 3,00 0,1 = 30,0   s

Passo 3

(c) Agora que conhecemos a constante de tempo τ , o fator Q pode ser calculado usando a seguinte fórmula:

Q = ω 0 τ

Onde ω o é a frequência angular, que pode ser escrita em termos do período T que nós também conhecemos:

Q = 2 π T τ  

Q = 2 π 3,00 ( 30,0 )

Q = 62,8

Resposta

(a) A energia mecânica diminui cerca de 10 % a cada ciclo.

(b) A constante de tempo é τ = 30,0   s .

(c) Q = 62,8 .

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