Enunciado

Uma nave espacial passa pela Terra se deslocando a 0,70 c , como visto da Terra. Cinco minutos depois de sua aproximação máxima da Terra, uma mensagem é enviada à nave do centro e controle de Houston, no Texas. (ignore efeitos de rotação da te Terra.) (a) Quanto tempo o sinal leva para chegar? (b) A nave e o centro de controle concordam quanto à hora em que a nave estava no ponto mais próximo da Terra. Cinco minutos depois que a mensagem é recebida pela nave para Houston. Qual é o intervalo de tempo, em Houston, entre o momento em que sua mensagem foi enviada e o momento em que a mensagem-resposta foi recebida?

Passo 1

(a) Nesse primeiro item podemos pensar o seguinte, a distância entre a Terra e a nave é dada por:

Δ x = c ( Δ t i d a - Δ t a t r a s o )

Mas essa distância também é:

Δ x = v Δ t i d a

Logo,

c Δ t i d a - Δ t a t r a s o = v Δ t i d a

Isolando Δ t :

Δ t i d a = Δ t a t r a s o 1 - v c

Substituindo os valores:

Δ t i d a = 5,0   m i n 1 - 0,70 c c = 16.67   m i n ≅ 17   m i n

Passo 2

(b) O que acontece aqui é o seguinte: cinco minutos depois que a nave passa pela Terra, Houston envia uma mensagem. Nesse momento, a nave já tinha andado um pedaço. Ela vai andar mais um pouco enquanto a mensagem ainda não chegou. No momento que ela chega, passam mais cinco minutos (outros cinco minutos) até a nave retornar a mensagem para Houston.

Não esquece: Δ t d i l a t a d o = γ Δ t

Para o observador na Terra, o tempo entre o momento que a nave recebeu a mensagem e mandou de volta é:

Δ t n a   n a v e = 5 m i n 1 - v c 2

Δ t n a   n a v e = 5 m i n 1 - 0.7 c c 2 = 5 m i n 1 - 0.7 2

Δ t n a   n a v e = 7   m i n

O tempo total que se passou desde que Houston enviou a mensagem até a nave mandar de volta é dado por:

Δ t a t é   v o l t a r = Δ t i d a + Δ t n a   n a v e

Δ t a t é   v o l t a r = 16.67 + 7 ≅ 23.67   m i n

No referencial da Terra, a distância da nave até a Terra é:

Δ x = 0.70 c Δ t a t é   v o l t a r

Δ x = 0.70 × 2.998 × 10 8 m s   × 23.67 m i n × 60 s m i n = 2.980 × 10 11 m

Como a mensagem viaja na velocidade da luz, o tempo que ela vai demorar pra voltar é:

Δ t r e t o r n o = Δ x c = 2.980 × 10 11 2.998 × 10 8 = 994 s = 16.6 m i n

Então o tempo total vai ser igual a:

Δ t = Δ t a t é   v o l t a r + Δ t r e t o r n o

Δ t = 23.67 + 16.6 = 40.27   m i n

Resposta

  1. Δ t i d a ≅ 17   m i n
  2. Δ t = 40.27   m i n
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