Enunciado

O número de elétrons na banda de condução de um isolante ou semicondutor intrínseco é governado principalmente pelo fator de Fermi. Como a banda de valência nesses materiais está quase cheia e a banda de condução está quase vazia, a energia de Fermi EF está geralmente no meio do caminho entre o topo da banda de valência e a parte inferior da banda de condução; isto é, está em Eg / 2, onde Eg é o gap entre as duas bandas e a energia é medida a partir do topo da banda de valência. (a) Em silício, por exemplo, ≈ 1,0 eV. Mostre que, neste caso, o fator de Fermi para elétrons na parte inferior da banda de condução é dado por exp (–Eg / 2kT) e avalie esse fator. Discuta a significância desse resultado se houver 1022 elétrons de valência por centímetro cúbico e a probabilidade de encontrar um elétron na banda de condução for dada pelo fator de Fermi. (b) Repita o cálculo na Parte (a) para um isolador com um gap de 6,0 eV.

Passo 1

(a) Faala!! Se liga, a gente pode calcular o fator de Fermi na parte inferior da banda de condução por:

e E - E F k T = e E g 2 k T

E e E g 2 k T ≫ ≫ 1 para T próximo à temperatura ambiente.

Vamos desprezar o 1 no denominador da função de Fermi, o que nos dá:

f E g 2 = 1 e E g 2 k T = e - E g 2 k T

Substituindo os valores, para T = 300   K (temperatura ambiente):

f E g 2 = e - 1   e V 2 ( 8,62 × 10 - 5   e V / K ) ( 300   K )

Pera, deixa eu dar um “zoom” nesse expoente aí, só pra você ver melhor hahah:

- 1   e V 2 ( 8,62 × 10 - 5   e V / K ) ( 300   K )

Beleza?? Fazendo as contas:

f E g 2 = 4 × 10 - 9

Dada a baixa probabilidade de encontrar um elétron em um estado próximo ao fundo da banda de condução, o princípio de exclusão não tem impacto significativo na função de distribuição.

Com 10 22 elétrons de valência por c m 3 , o número de elétrons na banda de condução será de cerca de 4 × 10 13 por c m 3 . Ok?

Passo 2

(b) Agora, vamos calcular f E g 2 para T = 300   K e E g = 6   e V :

f E g 2 = e - 6   e V 2 ( 8,62 × 10 - 5   e V / K ) ( 300   K )

Vou dar aquele mesmo “zoom”, ok? Assim:

- 6   e V 2 ( 8,62 × 10 - 5   e V / K ) ( 300   K )

Calculando tudo isso:

f E g 2 = 4,2 × 10 - 51

Dessa forma, vemos que a probabilidade de encontrar até mesmo um elétron na banda de condução é desprezivelmente pequena. Show? Acabou!!

Resposta

(a) f E g 2 = 4 × 10 - 9

(b) f E g 2 = 4,2 × 10 - 51

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