Enunciado

Um objeto possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por F = a x y î uma força orientada no sentido positivo do eixo Ox cujo módulo depende da posição do objeto. O valor da constante é dado por. O objeto se move ao longo da seguinte trajetória:

(1) ele parte da origem e se move ao longo do eixo Oy ao ponto x=0, y=1.5m

(2) move-se paralelamente ao eixo Ox ao ponto x=1.5m, y=1.5m

(3) move-se paralelamente ao eixo Oy ao ponto x=1.5m, y=0

(4) move-se paralelamente ao eixo Ox retornando para a origem.

a) Faça um esboço dessa trajetória no plano xy.

b) Calcule o trabalho realizado pela força em cada etapa da trajetória e o trabalho total realizado no percurso fechado.

c) A força é conservativa ou não conservativa? Explique.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que esteja tudo bem com meu os herdeiros de Newton. Vamos dar início a mais uma resolução com o padrão de qualidade do Responde aí, então pegue seu lápis, caderno e café e vamos nessa!!!

Sabemos que o trabalho realizado por uma força variável F⃗ em uma partícula movendo-se ao longo de um caminho de P1​ para P2​ é dado por:

W = ∫ P 1 P 2 F ∙ d l

Onde dl⃗ é o deslocamento infinitesimal.

  1. Passo 2

  2. Primeiro, reescrevemos a função força depois de substituir o valor de αα, então temos:

F = 2 x y î

(1) Para o caminho de P⃗1=(0,0) a P⃗2=(0,1.5)

Como a partícula está se movendo em uma trajetória paralela ao eixo y, então o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d y ĵ

W 1 = ∫ ( 0,0 ) ( 1,1 ) ( 2 x y î ) ( d y ĵ ) = 0

Para o caminho de P⃗1=(0,1.5) a P⃗2=(1.5,1.5):

Como a partícula está se movendo em uma trajetória paralela ao eixo xx, então o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d x î

W 2 = ∫ ( 0,1.5 ) ( 1.5,1.5 ) ( 2 x y î ) ( d x î )

= ∫ ( 0,1.5 ) ( 1.5,1.5 ) 2 x y d x

Como y é constante e tem valor igual a 1,5 obtemos:

W 2 = ( 2 ∙ 1.5 ) ∫ 0 1.5 x d x

= 3 [ x ² 2 ] 0 1.5 x d x

= 3 [ x ² 2 ] 0 1.5 = 3 ∙ 1.5 ² 2 = 3.375   J

W 2 = 3.375   J

(3) Para o caminho de P⃗1=(1.5,1.5) a P⃗2=(1.5,0):

Como a partícula está se movendo em uma trajetória paralela ao eixo yy, então o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d y ĵ

W 3 = ∫ ( 1.5,1.5 ) ( 1.5,0 ) ( 2 x y î ) ( d y ĵ ) = 0

W 3 = 0

Passo 2

(4) Para o caminho de P⃗1=(1.5,0) a P⃗2=(0,0):

Como a partícula está se movendo em uma trajetória paralela ao eixo xx, então o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d x î

W 4 = ∫ ( 1.5,0 ) ( 0,0 ) ( 2 x y î ) ( d x î )

= ∫ ( 1.5,0 ) ( 0,0 ) ( 2 x y   d x

Como y é constante e tem valor igual a 0, obtemos:

W 4 = 0

Portanto, o trabalho total realizado nesta rodada completa é:

W t o t ​ = W 1 ​ + W 2 ​ + W 3 ​ + W 4 ​ = 0 + 3.375 + 0 + 0

= 3.375   J

(c) Como o trabalho total realizado em uma viagem de ida e volta completa não é zero zero, então a força F⃗ é uma força não conservativa não conservativa.

Resposta

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